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q例4 （经典例题） 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求p的值。 【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t， ?4??4??????.?3? 所以9 t +12 t =16 t，即1+?3?q?129ttt2t记x=pq?4?1?5???x?.?3?，则1+x=x2，解得2
tq1?25又p>0，所以p=
.
1例5 （经典例题）对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且x求证：a+b=c.
【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
1111?1y?1z?1w，
11所以wlga=xlg70, wlgb=ylg70, wlgc=zlg70，
?111?1111?????????xyz?yzw， ?w相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设x1所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c.
例6 （经典例题） 已知x?1, ac?1, a?1, c?1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得
logax?loglogaaxc?2loglogaaxb，
因为ac>0, ac?1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 （经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
?1??2??5??1??2??5?????????????????23623???????????6?, 则f(x)在(-∞,+∞)上是减【解】 方程可化为=1。设f(x)=
xxxxxx函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
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x?y12??y?x?x?y3?y?x?例8 （经典例题） 解方程组：（其中x, y∈R+）.
?(x?y)lgx?12lgy.?(x?y)lgy?3glx【解】 两边取对数，则原方程组可化为? ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4.
??x1?1??x2?4;????y?1?y2?2 . 所以方程组的解为?1
例9 已知a>0, a?1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
?(x?ak)2?x2?a2??x?ak?0?22x?a?0【解】由对数性质知，原方程的解x应满足?.①②③
若①、②同时成立，则③必成立， ?(x?ak)2?x2?a2?x?ak?0故只需解?.
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
a(1?k)21?k
2
当k=0时，④无解；当k?0时，④的解是x=
2k，代入②得2k
>k.
若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0 大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！