16 / 22 106449094.doc TopSage.com
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 10．利用二次函数表达式解题。
1例17. （经典例题）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0
【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.
1其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+a]<0，所以f(x) （Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, a(x1?x2)?1?x1?x22?12a, 所以x0= x0?x122ax2212a???所以 x0?1?1??x2???02?a?， x1所以 .2 11．构造二次函数解题。 例18. （经典例题） 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比1小，负根比-1大。 12．定义在区间上的二次函数的最值。 例19.（2011陕西卷14．）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）． 【解析】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图）， 1 2 ? i ? 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是 s?(i?1)?10?(i?2)?10???(i?i)?10?[(i?1)?i]?10???(20?i)?10 大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！ www.TopSage.com ?10?[i?i?i(i?1)2?i?(20?i)?2大家网 17 / 22 (20?i)(i?1?20)] 2所以当i?10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000?10(i?21i?210)， 米. （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是 10?(1?2???19)?2?10?19(1?19)2?2?3800；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路 程总和是10?(1?2???9)?10?(1?2???10)?2 ?10?9?(1?9)2?2?10?10?(1?10)2?2?900?1100?2000，所以路程总和最小为2000米. 【答案】2000 x?x?54222例20 （经典例题）当x取何值时，函数y= 1?5(x?1)222(x?1)取最小值？求出这个最小值。 1【解】 y=1- x?12,令x?12?u,则0 1?1919?u?????102020, ??y=5u2-u+1=5u?119且当 10即x=?3时，ymin=20. ?12，求b的值。 例21. 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1). bb2ⅰ)-2≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为-4b,?b24??12，所以b2=2，所以b??2（舍去）。 ⅱ) -2>-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数， 13所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-2,b=-2. 3综上，b=-2. 13.一元二次不等式问题的解法。 更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！ 18 / 22 106449094.doc TopSage.com ?x2?x?a?a2?0?x?2a?1例22. （经典例题） 已知不等式组? ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。 【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a≤0，则x1 1若a>0，ⅰ）当0 1ⅱ）当a=2时，a=1-a，①无解。 1ⅲ）当a>2时，a>1-a，由②得x>1-2a， 所以不等式组的解集为1-a 所以1 例23..（2011.江西卷8）已知?1,?2,?3是三个相互平行的平面,平面?1,?2之间的距离为d1, “P1P2?P2P3”是平面?2,?3之间的距离为d2.直线l与?1,?2,?3分别交于P1,P2,P3.那么 “d1?d2”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】：平面?1,?2,?3平行，由图可以得知： 如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知P1P2?P2P3 如果P1P2?P2P3，同样是根据两个三角形全等可知d1?d2 故选C 例24. （经典例题） 设定数A，B，C使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件） 【解析】 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A?0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！ www.TopSage.com 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。 大家网 19 / 22 再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)， 1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 15．常用结论。 定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——绝对值不等式 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。 定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥ 2xy. (证略) 注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 第三章、基本初等函数 一、基础知识（必会） 1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a?1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当01时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 1mnan?a,an?na,am?n?1an,a?mn?1n2．分数指数幂：am。 3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a?1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当01时，y=logax为增函数。 4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）ax=M?x=logaM(a>0, a?1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； M3）loga（N）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M（万能恒等式） 1logccba5）loga nM=nloga M；6）aloga M=M; 7) loga b=loga(a,b,c>0, a, c?1). ??,?a5. 函数y=x+x（a>0）的单调递增区间是和 ???a,???，单调递减区间为??a,0?和?0,a?。 （请同学自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 1．构造函数解题。 例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！ 20 / 22 106449094.doc TopSage.com 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0. 例2 （2011.山东卷） （柯西不等式）若a1, a2,?,an是不全为0的实数，b1, b2,?,bn∈R，则 nn2in2i（ ?ai?1）·（ ?bi?1）≥( n?ai?12iibi?b)2，等号当且仅当存在??R，使ai=i, i=1, 2, ?, n时成立。 nnn2i【证明】 令f(x)= （ n?ai?1）x2-2( ?ai?1ibi)x+ ?bi?1= ?(ai?1ix?bi)2, 因为 ?ai?12i>0，且对任意x∈R, f(x)≥0， nnn2i所以△=4( ?ai?1nibi)-4（ n?ai?1）( n?bi?12i)≤0. 展开得（ ?ai?12i）( ?bi?12i)≥( ?ai?1ibi)2。 ?bi等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在?，使ai= , i=1, 2, ?, n。 ***注释：根据许多省市的2011年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即可，不需深入做题。 1??1????x?y?????x??y??例3（2011.全国卷） 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。 1??1??xy11?y??x???????x??y??【解】u==xy+yxxy≥xy+xy+2· xy?yx 1=xy+xy+2. (x?y)2令xy=t，则0 c24?c2.4,设f(t)=t+t,0 1c2?c2??0,??4??上单调递减。 因为0 c2c24c2422所以f(t)min=f(4)=4+c，所以u≥4+c+2. 2cc42当x=y=2时，等号成立. 所以u的最小值为4+c+2. 2．指数和对数的运算技巧。 大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！