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B，D符合；由f(x?2)?f(x)得y?f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
例3.（2011.安徽卷6）、设abc?0，二次函数f?x??ax?bx?c的图象可能是
2
【解析】当a?0时，b、c同号，（C）（D）两图中c?0，故b?0,?
1x例4.（2011.四川卷7）．已知f(x)是R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?()?1，则f(x)的反函
2b2a?0，选项（D）符合.
数的图像大致是
答案：A 【解析】：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。 当x?0,0?()?1,?1?y?2，故选A
21x
1y1x 1 x 例5（09.江西） 求方程|x-1|=x的正根的个数.
1【解】 分别画出y=|x-1|和y=x的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。
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4106449094.doc TopSage.com
x?x?142例6 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=【解】 f(x)=
(x?2)?(x?3)222x?3x?6x?13?(x?1)?(x?0)2222的最大值。
?，记点P(x, x-2)，A（3，2），B（0，1），则
f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|≤|AB|=所以f(x)max=10.
2.函数性质的应用。
3?(2?1)22
?10,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。
例1.（2011.江苏卷2）函数f(x)?log5(2x?1)的单调增区间是__________
【解析】首先根据对数函数真数大于0，得出定义域，再根据增函数特点“外增内闭增”二者求交集得
（－，+?）出答案：
21
例2.（2011.广东卷4）．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．f(x)?g(x)是偶函数 B．f(x)?g(x)是奇函数 C．f(x)?g(x)是偶函数 D．f(x)?g(x)是奇函数
【解析】：由f(x)是偶函数、g(x)是奇函数，得f(x)和g(x)都是偶函数，所以f(x)?g(x)与
f(x)?g(x)都是偶函数，f(x)?g(x)与f(x)?g(x)的奇偶性不能确定
故选A
?lgx?例3.（2011.陕西卷11）设f(x)??a2x??3tdt?0?x?0x?0，若f(f(1))?1，则a? ．
【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x?1算起是解答本题的突破口. 【解析】因为x?1?0，所以f(1)?lg1?0，又因为f(x)?x?33所以f(0)?a，所以a?1，a?1．
?a03tdt?x?a，
23【答案】1
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2??(x?1)?1997(x?1)??1?3?(y?1)?1997(y?1)?1?例4. （10、全国） 设x, y∈R，且满足，求x+y.
【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例5.（10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。 【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a) 又因为f(x)是以2为周期的函数， 所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例7. （10、全国） 解方程：(3x-1)(9x?6x?5?1)+(2x-3)(4x?12x?13+1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m(m?4+1)+n( 222n?4+1)=0. ① 2若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m?0, n?0. ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(t?4+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n， 4.2所以3x-1+2x-3=0，所以x=5 4ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=5,但与m<0矛盾。 4.综上，方程有唯一实数解x=5 3.配方法。 例8 （经典例题） 求函数y=x+2x?1的值域。 1【解】 y=x+2x?1=2[2x+1+21112x?1+1]-1 =2(2x?1+1)-1≥2-1=-2. 更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！ 14 / 22 106449094.doc TopSage.com 111当x=-2时，y取最小值-2，所以函数值域是[-2，+∞）。 4．换元法。 例9（经典例题） 求函数y=(1?x+1?x+2)(1?x2+1),x∈[0,1]的值域。 2?22【解】令1?x+1?x=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+21?x≤4,所以2≤u≤2,所以 22≤ u?22uu?22≤2，1≤2≤2，所以y= ,u2∈[2+2，8]。 所以该函数值域为[2+2，8]。 5．判别式法。 x?3x?42例10. 求函数y=x?3x?4的值域。 【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y?1时，①式是关于x的方程有实根。 12所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得7≤y≤1. 又当y=1时，存在x=0使解析式成立， 1所以函数值域为[7，7]。 6．关于反函数。 例11. （10年宁夏）若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设x1 44x?13x?2，解方程：f(x)=f-1(x). 例12. （经典例题）设函数f(x)= 21【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-3）∪[-4，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且 24x2?1?4x1?13x1?25(x2?x1)3x?2x1 (3x2?2)(3x1?2)>0, 21所以f(x)在（-∞，-3）上递增，同理f(x)在[-4，+∞）上递增。 大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！ www.TopSage.com 大家网 15 / 22 1在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-4，+∞）. 若x?y，设x 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 7．待定系数法。 例13. （经典例题） 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a?0), 则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△?0， 所以α?β，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2. 又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β, 所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1, 所以f(x)=x2-2x+2. 8．方程的思想 例14..（2011.江苏卷11）已知实数a?0，函数f(x)??的值为________ 【解析】：a?0,2?2a?a??1?a?2a,a?? 例15.（10.全国） 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4. 8532?2x?a,x?1??x?2a,x?1，若f(1?a)?f(1?a)，则a ，a?0,?1?a?2a?2?2a?a,a??34 又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=3f(2)-3f(1), 8585所以3×(-1)+3≤f(3)≤3×5+3×4, 所以-1≤f(3)≤20. 9．利用二次函数的性质。 例16. （经典例题） 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a?0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。 【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。 更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！