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前 言
我们有幸参加了高中数学课程标准的研制，教材编写，教师培训，网站建设等工作，并多次深入实验区，听课，座谈，交流，等等，也参加了很多有关的国内外学术活动。这些工作和活动使我们学习到很多东西，特别是从一些教研员、一线教师那里学到很多生动活泼的东西。我们由衷地感到做好一件事太不容易了，尤其是这次课程更是如此。这次课程改革涉及面广，有课程目标的调整，有课程内容的变化，有选择功能的拓展，有教学方式的改进，等等。这是一项巨大的工程，需要不同方面的合作，例如，数学和数学教育工作者的合作，大学与中小学的合作，等等。需要求同存异，有不同意见和看法是很正常的，坐下来相互倾听、交流、讨论，非常有益。在高中数学课程研制的过程中，召开过数十次不同形式的座谈、交流会，对标准研制起了非常大的作用。美国在数学教育方面曾发生过争论，前一阶段，争论的双方坐在一起，认真地讨论了共识和分歧，共识远远多于分歧。
高中数学新课程实验已经一年多的时间，整个进程比较顺利，积累了一些很好的经验，也提出了一些具有挑战性的问题。根据实验过程中的经验，针对出现的问题，本书拟从高中课程的数学内容定位的角度，谈谈我们对一些问题的看法。
重视“双基”是我们很好的传统，“双基”需要与时俱进也是我们的共识，本书希望从以下几个方面引起教师的思考，丰富“双基”的内涵。
整体地把握数学课程是值得特别关注的。知识和技能是需要一个一个地学习，数学课也需要一节一节地上，但是，在高中数学课程中，还是有一些“内容”或“思想”更重要，更基本，贯穿在课程的始终。例如，在本书中反复强调的“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等，它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，它们反映了数学中更为丰富的东西，它们将伴随着学生将来的学习和工作，我们需要把这些东西留在学生的头脑中。我们把它们看作贯穿高中课程的主线，它们相对独立，又彼此交叉，把整个高中课程有机地编织成了一个整体。为了加深对这个整体的认识和理解，每一个知识、每一个技能都会做出贡献。同样，学会用整体的视角看待每一个知识和技能，一定会更好地理解它们的作用和意义。有了这样的思想，在教学中我们就会不仅关注如何设计好一节课，而且会更加关注如何设计好一章的课程，一学期的课程，一学年的课程，关注设计好整个高中的课程。有了这样的思想，在考试命题中我们就会关注主要的、基本的东西，关注通性通法（skill），淡化那些小技巧、小把戏（trick）。
数学教学不是要把容易的东西变难了，而是希望把难理解的变得容易理解。在本书中，我们结合具体内容反复强调两点建议：一个是多画一些“图”，多用一些“图形的语言”，几何图形给我们带来的好处不仅仅是逻辑，还有直观，越复杂、越抽象东西越需要直观，需要图形；另一个是，在学习数学时，应该养成一个习惯，无论思考多么抽象的问题，头脑中一定有具体的“实例”。 例如，非负整数数列是理解等差数列好的实例；复利储蓄是理解等比数列好的实例；路程与速度的关系是理解牛顿-莱布尼兹定理好的实例。有好的实例支持，抽象的概念就不会“落空”。
“演绎推理”和“归纳抽象”是认识数学的两个基本方面，在高中数学课程中要给予同等的重视，不可偏废。从一般到特殊，从具体到抽象，都是重要的。但是实际教学中，常常忽视后者。例如，以为知道映射的定义，就应该理解函数的定义，了解
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一般函数概念自然就能理解特殊的函数，这样的认识是片面的，两个方面都不可忽视。
高中数学的一些内容是需要遵循“螺旋”上升的认知规律。例如，对于“函数”、“算法”等等的认识是需要一个比较长的时间的积累，不可能“一步到位”，太急了，反而会“欲速则不达”。在实验区，一些教师在高一就开始进行高考训练，我们感到不妥，需要分析，不仅要考虑知识，还要考虑学生的认知水平。
这本书主要从数学的角度对高中数学新课程以及高中数学课程实验中出现的一些问题进行思考，这些思考融会了标准研制过程很多人的想法，也有我们自己的一些思考，写出来供教师作参考。一定会有很多不妥之处，希望作为抛砖引玉。
本书的内容包括七部分：什么是数学；高中数学课程的理念与目标；整体把握高中数学数学课程；高中数学课程的定位；高中数学新课程教学中的问题；高中数学新课程评价中的问题；高中数学新课程推进的进程、经验和问题。除第七部分外，其余各部分均以问题的形式呈现。全书共117个问题。采用问题的形式，是为了突出重点，有针对性地解答老师们在理解高中数学新课程和实验中出现的问题。当然，这些解答只是我们的一些思考，难免谬误，仅供老师们参考和讨论。
王尚志 张饴慈 吕世虎 马芳华
2005年12月15日
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第一单元 什么是数学
在高中数学课程标准研制过程中，我们认真思考了以下几个问题：
根据课程改革纲要要求，如何把“三维课程目标”与数学课程有机地联系起来？ 什么是数学？
在高中阶段，什么是学生需要掌握的基本数学思想和内容？选择什么“内容”有助于学生的发展？
如何帮助学生有效地学习？提高学习数学的兴趣、本领？ 如何帮助教师提高数学教学效率？
对于每一个从事数学研究和数学教育的工作者来说，这些都是大家十分关心的问题。当然，我们不可能准确地回答这些问题，但是，在标准研制过程中，结合每个人的学习实际、工作实际，认真思考这些问题对于研制课程标准是非常重要的。对于每一位数学教师来说，结合自己的学习和教学实际，思考这些问题，将有助于提高自己的专业水平，提高教学的效率。对于每一位正在学习数学的高中学生来说，结合自己的学习实际，思考这些问题，将有助于提高学习兴趣和效率，有助于加深对理解数学，有助于提高学习成绩。
特别是对于“什么是数学”，我们应该认真思考。这不仅对于从事数学研究是重要的，对在一线教授数学的老师也同样重要。我们应该帮助学生更好地、更全面理解数学。本单元中，我们从几个不同的视角来体会数学，体会数学的作用：数学是基础；数学是科学的语言、有效的工具；数学是“思维的体操”；数学有广泛的应用——数学是技术；数学是文化；数学是育人的载体；等等。这些不同的视角有区别，又有密切联系。
单元学习目标
? 对数学的价值和作用有进一步的认识 ? 能从不同角度不断思考什么是数学的问题
? 能在教学过程中引导学生思考什么是数学的问题
重要概念
数学 数学课程 数学语言 数学思维 数学应用 数学文化
学习建议
阅读下列参考书目的相关内容。
[1]严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准解读. 江苏教育出版社.2004 [2]柯朗，罗宾. 什么是数学. 译者，左平、张饴慈. 复旦大学出版社.2005.5 [3]李文林. 数学史概论. 高等教育出版社.2000.8
结合高中数学课程标准和教学实际，不断思考什么是数学？在高中阶段，学生需
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要掌握的基本数学思想和内容是什么？如何帮助学生有效地学习数学，提高学习数学的兴趣和本领？如何提高数学教学效率？等问题。
1、为什么数学是基础？
数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。
恩格斯说“数学是研究空间形式和数量关系的科学。”最近，对数学又有一种新的描述，“数学是研究模式与秩序的科学。”在数学中，出现的各种“空间形式”、“数量关系”、“模式”、“秩序”，它们以不同的方式出现在现实世界和各个学科中，反映和描述其中蕴涵的规律。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，已经成为社会的共识。
不仅如此，数学在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。对于一些学科和学科方向而言，例如，数理经济学，社会统计学，数字音乐，电脑美术，电子文献学，等等，数学已经成为它们的基础之一。现在，大学的大部分文科院、系开设了数学课程，大学的一些传统的文科院、系开始招收“理科学生”。这种变化应该引起中、小教师和学生的关注。
现代生活处处充满着数学。如每日天气预报中用到的降水概率、正数、负数及表示空气污染程度的百分数；个人和家庭在购物、购房、购买股票、参加保险等项投资活动中所采用的具体方案策略；外出旅游中的路线的选择；选取房屋的装修设计和装修费用的估算；还有对新闻媒介带给人们的各种各样信息的分析，这些都与数学有着密切的联系。大众媒体、日常生活中用到越来越多的数学概念，如纬度、统计、变化率等都成为常用的词语。” “数量意识和用数学语言进行交流的能力已经成为公民基本的素质和能力，它们能帮助公民更有效地参与社会生活。数学是科学的语言，数学也是一种日常生活语言。
一些数学基本能力已经成为人的生活基本能力的重要组成部分。在高中课程中，数学课程是重要的基础课程。
2、为什么数学是科学语言和有效工具？
数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
语言的主要作用是描述、表达、交流，让其他人了解我们的意思。数学语言是人类语言的重要组成部分，它包括：由数学概念、结果等组成的数学自然语言，符号语言，图形语言，等等。它的基本特点是准确和简洁。它能帮助我们更好地进行交流，当我们用数学语言进行交流，一般说来，十分准确，不会出现任何歧义，而且，简洁，明了，这是其它语言很难实现的。在很多情况下，特别是在刻画自然规律和社会规律时，在科学、技术交流中，数学语言常常是不可替代的。
社会要求人们学会并使用数学语言。数学语言（符号系统）现在已成为通用的语言，在现代社会中，许多事物均用数学来表征。从基本的度量如长度、面积、容积、重量到门牌号码、电话号码、邮政编码，体格检查如体温、血压、肝功能、血脂、白
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血球等等，无一不用数学来表示。各个民族都有自己的语言，有些语言为多个民族所共用，但只有数学的‘语言’供世界各民族所共用。数学语言是迄今为止惟一的世界通用语言，是一种科学的语言。科学数学化、社会数学化的过程，乃是数学语言的运用过程；科学成果也是用数学语言表述的，正如伽利略所说：“自然界的伟大的书是用数学语言写成的。”一切数学的应用，都是以数学语言为其表征的。数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段。因此，数学语言是每个人都必须学习使用的语言，使用数学语言可以使人在表达思想时做到清晰、准确、简洁，在处理问题时能够将问题中各种因素之间的复杂关系表述得条理清楚、结构分明。
数学作为有效工具，我们可以通过“典型案例”——数学软件，加以说明。教师已经十分熟悉计算机和计算机软件，也熟悉一些“数学软件”，例如，“几何画板”，等等。实际上，还有很多在功能上比“几何画板”强得多的“数学软件”。只要我们能按照规定，把要做的事情“告诉数学软件”，例如，把要解的方程的系数按照规定“输入”，这些“数学软件”就能帮助我们解方程，求解不等式，等等。现在常用的一些“数学软件”功能非常强，它几乎可以帮助我们完成“书上所有的习题”，不仅是中学的数学书，也包括一些大学的数学书。可以把“数学软件”比喻为“字典”，也可以比喻为家庭的“工具箱”，会直接帮助我们解决一些问题。“数学软件”充分展示了“数学的工具性”。实际上，“数学的工具性”比“数学软件”要丰富得多。
3、为什么“数学是思维的体操”？
数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展过程中发挥着独特的、不可替代的作用。
数学在培养人的思维能力、发展智力方面具有不可或缺的突出作用。加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操。”数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过数学培养学生的逻辑思维能力是最好、最经济的方法。在学习数学知识及运用数学知识、思想和方法解决问题的过程中，能培养辨证唯物主义世界观，能培养实事求是、严谨认真和勇于创新等良好的个性品质。这对于人的身心发展，无疑将起重大作用。
数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理、对完美境界的追求，数学的基本要素是：直观和逻辑，分析和构造，个别性和一般性。虽然，不同的时期、不同的传统可以强调不同的侧面，然而，正是这些相互对立的力量相互作用，以及它们综合起来的努力，才能构成数学科学的生命、用途和它的崇高价值。
由于时代的发展，在不同时期的数学教育中，人们常常会强调某些侧面，而忽视另一些侧面，这是我们应特别予以关注的。19世纪到20世纪，数学家对数学内部的体系化，严格化，公理化给予了特别的重视，这是数学发展的必然，很自然这种数学发展的特点直接影响数学教育，从20世纪，这样的发展有一种极端化的趋势，影响数学的学习者对数学的理解，上个世纪40年代，很多著名数学家看到了这种趋势的危害，这里，我们再引一段柯朗的论述：
“目前，过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险。事实上，创造发明的要素，起指导和推动作用的直观要素，常常不能用简单的公式来表述，但是，它们却是任何数学成就的核心，即使在最抽象的领域也是如此。如果说完善的演
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