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第二章 中心极限定理的应用
由上述可知中心极限定理意义重大，应用也相当广泛，所以这里仅仅以它在定期寿险业、决策问题及生产供应需求方面的应用为例来进行说明。 2.1 中心极限定理在定期寿险中的作用 2.1.1保险学的概率论数学原理
保险体现了“人人为我，我为人人”的互助思想，它以数理统计为依据。保险中的风险单位是发生一次风险事故可能造成标的物损失的范围，也就是遭受损失的人、场所或事物。风险单位是保险公司确定其能够承担的最高保险责任的计算基础。理想状态下的风险单位应独立同分布，这种现象的意义在于保险人可以据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费。同时根据中心极限定理，含有n个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布，这个结论对保险费率的厘定极为重要。保险公司各险种的交费标准是经过精算后以同期银行利率比照制定的，所以在此基础上应尽可能地多承保风险单位，也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔，从而使保险公司的运营更加平稳，也就越有利于投保人或被
[4]保险人。
既然可利用中心极限定理能合理地厘定保险费率，为何老年人投保一再被提高门槛呢？京江晚报3月28日就有报道“对保险公司来说，老年人属于高风险人群，存在的不确定因素较多，老年人发生医疗费用支出和意外事故的风险要比年轻人大。所以，从赔付率的角度考虑，保险产品在推出前会经过精密测算，设置
[5]相应的年龄门槛和不同的缴费标准” 。
我们以最简单的一年定期寿险为例说明保险公司为何对中老年人保险总提高门槛，老年人投保寿险与年轻人有何区别。如表1所示是台湾远雄人寿千喜男性一年定期寿险的部分费率及死亡率（见附录三、四）。为说明问题，我们选取25-29岁作为年轻人的代表，61-65岁为老年人的代表，将这两个年龄段进行比较。
远雄人寿千喜男性一年定期寿险的部分费率及死亡率 表1
单位：元/每万元基本保额
年龄 25 26 27 保费 18 18 18 死亡率 0.000945 0.000925 0.000915 年龄 61 62 63 保费 215 235 257 死亡率 0.014892 0.016361 0.017972 理学院毕业（设计）论文 第 7 页
28 29 18 19 0.000918 0.000933 64 65 281 308 0.019740 0.021677 现假定每个年龄各有1000个人投保，则按照下列计算公式得出表2： 总保费=1000 ?单个人的保费（元）=0.1 ?单个人的保费（万元），
赔付额=104?E?i(元)?E?（万元），E?i为1000个年龄为i岁的个体在一年内死亡的期望。 i不同年龄的总保费及赔付额 表2
单位：万元
年龄 25 26 27 28 29 61 62 63 64 65 总保费 1.8 1.8 1.8 1.8 1.9 21.5 23.5 25.7 28.1 30.8 赔付额 0.95 0.93 0.92 0.92 0.93 14.9 16.4 18.0 19.7 21.7 由于计算中假定每个年龄的投保数相同，而老年人的死亡率比年轻人高，则导致赔付额的基数较大，所以还不能很好的解释问题，这里再引入赔付率（赔付率=赔付额/总保费），得出表3。 年龄 25 赔付率 52.8% 各年龄的赔付率 表3 26 27 28 29 61 62 63 51.751.151.148.969.369.870.0% % % % % % % 64 70.1% 65 70.5% 从表3可知，25-29岁总体的赔付率呈下降趋势，而61-65岁总体的赔付率呈上升趋势且赔付率处于较高水平。那么对于一个保险公司，她的经营主要是以盈利为目的，老年人身体状况较差，是疾病、死亡的多发群体，面临的风险大，所以为老年承保寿险时保险公司的赔付率相对较高。因此老年人投保寿险一再被提高门槛。同时，老年人寿险的保费若定价较高，但老年人收入相对偏低，可能买不起，而定价过低，保险公司也承受不起，从而更加影响公司的盈利。因此，寿险公司更愿意把目光投向年轻人群体。 2.1.2 定期寿险保险金的给付模型
在上述比较中，我们知道了保险公司更青睐于年轻群体，但是在保险公司追求利益的同时还应考虑到他们的偿还能力。我国《保险法》规定“保险公司应该具有与其业务相适应的最低偿付能力。”下面我们就将建立定期寿险保险金给付模型。
首先，根据国际精算协会的惯例，采用下列符号： （x）：一个新生儿生存至x岁，记为个体（x）；
t（x）活过年龄x+t岁的概率，即（x）至少再活t年的概率； px：
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（x）活到t岁的个体恰好在此年龄死亡的可能性，称为死亡力。且当?(t)为?(t)：常数时有
tpx=e??t
?：是衡量在某个确切时点上利率水平的指标，称为利息力，简称息力；
v：称为贴现因子，表示1年后得到1元在年初时刻的现值；
[9]T（x）: 个体（x）的未来生存时间。
现假定利率为常数i，则有：
??ln(1?i),d?i1?i,v?11?i
再记n年定期寿险的保险人给付额的现值为Z，则Z的精算现值为
Ax:n=?vttpx?(x)dt
011Z的j阶矩为
jAx:n1=Ax:n@j?（其中@j?表示计算时采用利息力j?）
n1=?vjttpx?(x)dt
0现假定1000个x岁独立的个体投保一年定期寿险，死亡保险金为1万元，在死亡后立即给付。死亡力为常数?=0.06。死亡给付是由某投资基金提供，投资基金的利息力为?=0.04。若要能够支付未来死亡保险金的概率不低于0.975，现在所需资金最低额度是多少？
记1000个个体的未来生存时间分别为T1(x),T2(x),...,T1000(x)，总给付金额的现
1000值为?vi?1Tj(x)，则精算现值为
1ttAx:1?11?v0px?(x)dt??e0??te??t?dt?????(1?e?(???))?0.6(1?e?0.1)?0.0571，
二阶矩为
2Ax:1?Ax:1@2???e0111?2?te??t?dt????2?(1?e?(??2?))?37(1?e?0.14)?0.0560
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因此方差D(vTj(x))?2Ax:1?(Ax:1)112=0.0527。设W为满足要求所需的最低资金额
度，利用中心极限定理，我们可以得到：
10001000P(?vj?1Tj(x)??W)?P(1j?1vTj(x)?1000Ax:1Tj(x)1?)W?1000Ax:11000D(vTj(x)1))1000D(vvTj(x)1000??P(j?1?1000Ax:1Tj(x)?)W?52.77.26)
1000D(v??(W?52.77.26)再利用正态分布0.975的分为点1.96，得
W?52.77.26?1.96
即W?67万元。所以，若需要能够支付未来死亡保险金的概率不低于0.975，现在所需资金的最低额度是67万元。 2.1.3 定期寿险业的盈亏
我们已经知道寿险公司的经营是为了盈利，而一个保险公司的盈亏，是否破产，我们也可以运用中心极限定理的知识做到估算和预测。例如设某寿险公司在一段时间内有n个同一年龄的人投保一年定期寿险，他们是相互独立彼此互不影响的，且在一年内没有新的投保人加入该项保险业务，也没有人退保。那么就可以利用中心极限定理估计该公司接下这些保单的盈亏概率。设每份保单的保费为M，保额为Q，该年龄的死亡率为p，令
?1，第i个人死亡，i=1,2,?,n, Xi=?0，第i个人仍活着?则有
n?i?1Xi?N(n,p)，
再结合中心极限定理有该保险公司的亏本概率为
n?MP(n?M?x?Q)?P(n?MQ?x)?P(Q?np?x?npnp(1?p)np(1?p))
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n?M ?1??(Q?np)?? (7)
np(1?p)若计算出的?较小，则对公司的盈利有好处，若?偏大，则为了盈利着想，寿险公司可通过增加保费等手段来降低亏本率。 2.1.4 实例分析
例1 ：某保险公司的老年人寿保险有10000人参加，每人每年交200元。若老人在该年内死亡，公司付给其家属1万元。设老年人的死亡率为0.017，问：（1）保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率多大？ （2）保险公司一年的利润不少于20万元的概率多大？ 解：设?表示一年内参保人的死亡数。则由题可知??B(10000,0.017)。 （1）要使保险公司亏本，必须满足
200?10000-10000?<0
??>200
则P（?>200）=1- P（0?? ?200） ?1-[ ?(200?10000?0.01710000?0.017?0.983)??(0?10000?0.01710000?0.017?0.983)]
=1- ?(2.3256)-?(?13.1783)=0.01 即保险公司亏本的概率为1%。
（2）要使保险公司一年的利润不少于20万元，必须满足
200 ?10000-10000??200000
???180
180?10000?0.01710000?0.017?0.983)??(0?10000?0.01710000?0.017?0.983)
则P（0?? ?180）??( =?(0.78)-?(?13.1783)=0.7823 即保险公司一年的利润不少于20万元的概率为78.23%。
例2：某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0.006.