理学院毕业（设计）论文 第 21 页
致谢
经过半年多的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有指导老师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计困难重重。
在本次毕业论文的写作过程中，许多人给予了我很大的帮助，首先感谢我的指导老师李晶晶老师，从开始的选题到最后的定稿李老师都给了我许多建议，对我进行了悉心的指导，并给予我许多相关的资料以供写作中查阅。李老师多次询问研究过程并为我指导迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨。同时她的科学态度、治学精神与工作作风深深感染了我。在此谨向李老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！
接着还要感谢大学四年来所有的老师，为我打下坚实的知识基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励，此次毕业设计才会顺利完成。
最后感谢理学院和我的母校-宁波大学四年来对我的大力栽培。
理学院毕业（设计）论文 第 22 页
附录
附录一：文献综述
中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。但最常见、最基本的两个定理是De Moivre-Laplace中心极限定理和Lindeberg-Levy中心极限定理。其中De Moivre-Laplace中心极限定理是历史上最早得到的中心极限问题的研究成果。1716年De Moivre首先得到了二项分布B（n，
12）的研究成果。后来Laplace
Sn?npnp(1?p)将此推广到一般情形B（n，p）该定理指出了标准化随机变量?0?p?1?。
的极限分布N（0，1），这一结论具有非常重要的意义。另外Lindeberg-Levy中心极限定理是Lindeberg与Levy在20世纪20年代证明的，“中心极限定理”的命名也是始于这一时期。 虽然中心极限定理反映的是当n??时，一系列相互独立的随机变量X1,X2,...Xn的和的极限分布为正态分布，但在应用中心极限定理解决问题时，只要n充分大（一般n?30，n越大越好）我们就可以用中心极限定理作近似计算，因此它为解决实际应用问题提供了理论基础。
在参考文献[1],[2]中主要介绍了中心极限定理的证明及基本形式，阅读后我认为中心极限定理的功绩之一是确立了正态分布在各种分布中的首要地位, 定理的条件只要求X1,X2,...Xn是相互独立的随机变量序列, 因而无论各个Xi服从什么
n分布, 其和?Xi都以正态分布为极限, 这种独立和的现象是十分常见的。例如,
i?1在研究一个车间的许多台机床的耗时, 整个车间的耗电量等于各台机床耗电量的总和, 而各台机床的工作状态及耗电量是相立的, 因此车间的耗电量是一个独立和的问题。只要机床的台数足够大, 则可用中心极限定理估计这个车间的耗电量, 并且可以得到满意的效果。一个单位的电话网同时需要打外线的数量等都可以表示成独立和的问题, 所以独立和的问题是常见的, 这种常见性就决定了正态成为首要的分布。同时中心极限定理还刻画了正态分布的形成机制。如果某一个量的
理学院毕业（设计）论文 第 23 页
变化受到许多随机因素的影响, 这种影响的总后果是各个因素的迭加, 而且这些因素中没有一个是起主导作用的, 那么这个量就是一个服从正态分布的随机变量, 至少它可以近似地服从正态分布。这种机制在经济问题中是常见的, 在我们对经济问题进行定量分析时, 往往假定在主要因素的影响之外, 其它各种因素的影响可以用一个服从正态分布的随机变量来表示, 如在回归分析模型
Yi?f(x1i,x2i,...,xni)??i,(i?1,2,...,n)中的误差?i~N(0,?)等, 其根据就在于此。
2在参考文献[3]中谈到了中心极限定理在数理统计中的应用，它也是大样本统计方法必不可少的理论基础。在统计推断理论中,一般是研究正态总体均值与方差的统计推断, 它是依赖于正态分布的特殊性以及正态总体的样本统计量的一些分布性质, 然而对于不服从正态分布的总体就不满足这些条件。我们知道,由简单随机抽样得到的样本 (X1,X2,...Xn)就是一个独立同分布的随机变量序列。因此, 在实际工作中, 如果能够获得样本容量较大的样本, 即如果n足够大, 就可以把独立同分布的随机变量之和当作一个服从正态分布的随机变量来处理。这种做法的理论根据就是中心极限定理。
正是因为中心极限定理的应用价值高，它的应用也正朝着与实际问题接轨的趋势发展。例如，在产品质量控制中可利用它估计产品的次品率，控制正品数量，估计正品数量；还可利用它解决能源供应、产品装箱、商品订购等问题。尤其在文献[4]、[6]、[9]、[10]中，介绍了它对保险业更具有指导性意义，一个保险公司的亏盈，是否破产以及偿付能力如何均可用中心极限定理的知识来估算和预测。例如假定某保险公司为某险种推出保险业务，现有n个顾客投保，第i份保单遭
n受风险后损失索赔量记为S，即S??i?1Xi，弄清S的概率分布对保险公司进行保费
定价至关重要。在实际问题中，通常假定所有保单索赔相互独立，这样，当保单总数n充分大时，我们并不需要计算S的精确分布。此时，可应用中心极限定理，
理学院毕业（设计）论文 第 24 页
对S进行正态逼近即可。
具体来说，在文献[6]中研究的是终身寿险保险金的给付问题，通过对该问题建立数学模型，结合文献[9]中国际精算协会惯例采取的符号及相关数据的基础上，利用中心极限定理和精算学求出：若要保险公司能够支付未来保险金的概率不低于某一值，所需资金的最低额为多少，同时估算保险公司的盈亏。而在文献[10]中同样也是先建立一个短期个体风险模型，所研究的问题基本与文献[6]类似，但在具体应用中更加细化，它应用中心极限定理计算出要有一定水平的偿付能力时的安全附加量、承保业务量、责任准备金，通过材料可知在纯保险费中包含安全附加量等都是保证偿付能力的手段。在文献[4]中以生活中的实际数据为背景讨论保险业的盈亏，并以实例说明中心极限定理在保险业的重要作用。同时在文献[6]中还讨论了更贴近生活的问题——少数服从多数的决策模型，利用中心极限定理分析讨论集体决策在何时优于个体决策，这足以说明中心极限定理在生活中有很重要的作用。在文献[11]也初步谈及中心极限定理在生产中的应用。这些都是中心极限定理的研究现状，中心极限定理的应用仍可继续开发，使之应用在更多更广的学科范围内。
我在这篇文章中，主要研究中心极限定理的三个应用：保险业的偿还能力与盈亏、决策问题及生产供应需求问题。在文献的基础上，对保险业的偿还能力与盈亏主要讨论定期寿险，以它为例建立定期寿险保险金给付模型，同时利用中心极限定理分析定期寿险业的盈亏概率等。对于决策问题，我将在文献的基础上更加具体化，加入数据并讨论使集体决策高于个体决策正确率的的充要条件，并给与证明。最后在生产方面，我再利用中心极限定理求出不同情况的生产量，需求量及满足社会的需求度，从而使得商品的价值得以较大体现。
理学院毕业（设计）论文 第 25 页
附录二：外文翻译及原文 译文1：
Almost Sure Versions of Central Limit Theorems for Order
Statistics
Abstract: Let{Xn}be a sequence of i·i·d. random variables with distribution function
F(x)，Mn(1)、Mn(2)denote, respectively, the first and the second largest maximum of
{X1,X2,...,Xn,}，assume also that there are normalizing sequences an?0,bnand a
non-degenerate limit distribution G(x) such that
P(Mn?anx?bn)???G(x)(1)w,then for x>y we have an almost sure central limit
theorem for Mn(1) and Mn(2),i·e·
lim1logNNN???n?11nI?Mn?un,Mn(1)(2)?vn??G(y){logG(x)?logG(y)?1}
a·s·
where un?anx?bn,vn?any?bn.
Key words: almost sure central limit theorem; non-degenerate limit distribution; extreme order statistics
1 Introduction
Initiated by the papers of [1] and [2], many authors have discussed almost sure versions of central limit theorems, which states for independent identically distributed (i·i·d·) random variables{Xn}withE?X1??0,E?X12??1 for the partial sums
nSn??k?1Xkwe have
1logNN1?1??2I?nSn?x???(x) a.s. (1) n?? limN???n?1where?(x)is the standard normal distribution, IAstands for the indicator function. The universal version of almost surely central limit theorems considered by [3]
includes the case of the maximum of i·i·d· sequence, which was first studied by [4] and [5] respectively. Let us denote Mn?maxXiand assume that there exist normalizing
1?i?n