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1logN1logNNN??limsupliminf?n?1N1n1nI{an(Mn?bn)?x}?G(x??){logG(x)?logG(x??)?1}?1(1) (16)
I{an(Mn?bn)?x}?G(x){logG(x??)?logG(x)?1}?1(1)N???n?1Noting the continuity of G(x),we complete the proof by letting??0 in (16). Proof of Corollary 2 The Proof of Corollary 2 is similar to Theorem 1.
References:
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译文2：
最大值的几乎处处局部中心极限定理1
摘要：令X1,X2,...,Xn为一列独立同分布的随机变量序列，Csa ki,E在1993年给出了部分和
的几乎处处中心极限定理。我们在较弱的条件下关注了序列的最大值Mn，并首次在较弱条件下证明了最大值的几乎处处局部中心极限定理。
关键词：几乎处处局部极限定理；高斯随机变量；最大值 1、
引言
最近几年，几乎处处中心极限定理在众多刊物上引起了广泛的注意，令{Xi}i?1是一列独立同分布的随机变量序列，并且EXi?0,Var(Xi)?1，那么
lim1lognn?n???k?11kI(Skk?x)??(x) a.s. (1.1)
这里?(x)是标准正态分布函数，并且I（A）表示A的一个显函数，具体可以参见Brosamler(1988),Schatte(1988),Lacey和Phllipp(1990)的论文，同时部分和的几乎处处中心极限定理也可以参见Berkes et al(1998)的文章。
在Fahrnet与Stadtmuller（1998）和Cheng et al（1988）的论文中首先给出了独立同分布随机变量序列的部分和的几乎处处中心极限定理，其中G(x)满足
P(M?anx?bn)?G(x)，则有 n?1lim1lognnn???k?11kI(ak(Mk?bk)?x)?G(x) a.s. (1.2)
其中对所有的x,有Mn?maxXi，Csaki和Gonchigdanzan(2002)在一些弱的依赖条件下考虑
1?i?n了高斯逗留序列最大值的几乎处处局部中心极限定理。Chen和Lin（2006）将（1.2）式延伸到了不逗留的高斯序列的情形，Chen和Peng（2007）还考虑了多变的逗留高斯序列的几乎处处局部中心极限定理。
另一方面，Csaki，Foldes和Revesz（1993）考虑了独立同分布随机变量序列部分和的几乎处处局部中心极限定理，并且最早由Chung和Erdos（1951）证明。在他们的论文中，我们考虑了最大值的几乎处处局部中心极限定理。我们知道，这就是最早以讨论最大值为主题的 1
陈志成，张红云，西南民族大学学报
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论文。在全文中，令X1,X2,...,Xn是一个独立同分布的随机变量序列，并且EX?0,现在我们假设{ui}i?1,{vi}i?1是两组实数序列，记
?I(vk?Mk?u),Pk?0?。 ?uk),?k??k?0,P?0k???Mn?maxXi,Pk?P(vk?Mk1?i?n2、 主要结论
?定理2.1：令{Xi}i?1是一列具有普通分布函数?(x)的独立同分布的规范化高斯随机变量序列，并且EXi?0,?i1,2。,假定{ui}i?1,{vi}i?1是满足F(un)?Fv(n?)13??clogn?，同时
n(1?F(nv对))??(0???)是有界的，那么
1lognn limn???k?1?kk?1 a.s. （2.1）
定理2.2：令{Xi}i?1是一列具有普通分布函数?(x)的独立同分布的规范化高斯随机变量序列，并且EXi?0,i?1,2,...假定{ui}i?1,{vi}i?1对任意的?(0???un?vn?logc??12???13)满足
并且n(1??(vn))是有界的，那么
n limn???logn1n?kk?1 a.s. (2.2)
k?13、 定理证明
?引理3.1：令{?i}i?1是一列随机变量序列并且E?i?u（u是一个有限数）i=1,2,…假定
nVar(?k?1?kk)?log2??n,n?2,3,...，则
lim1lognnn???k?11k(?k?E?k)?0 a.s.
证明：令?n???logn?21n1k(?k?E?k),对任一的v?nk1k?1?,记nk?ekv。
?nk那么?E(?nk)?k?3?Var(?k?3)??logk?312nkVar(?k?11k??k)??kk?3?v???
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所以由Borel-Cantelli引理，我们可以得到?n?0 a.s. (3.1)
k同时当k??时，
lognk?1lognk?(k?1)kvv?1 (3.2)
对于每一个n,总存在一个k满足nk?n?nk?1，所以
1logn?n?1?j?1nk1j(?j?E?j)1lognknk?1?lognk?j?11j(?j?E?j)?nk?1?j?nk?11j?j?E?j??nk???nk???nk?1lognk1lognk?j?nk?1nk?11j1j((?j?E?j)I(?j?E?j)?(E?j??j)I(?j?E?j)) ((?j?E?j)?2(E?j??j)I(?j?E?j))??nk?(lognk?1lognk?1)?j?nk?1lognk?1lognk?nk?1所以由（3.1）式和（3.2）式我们可以得到lim?n?0 a.s.。
n???i?1引理3.2：我们假定{?i}是一列非负的随机变量序列，我们有lim1lognnn???k?1?kk?1 a.s.并且若
对任意的??0,总存在一个k0,满足(1???)k??k?（?1?）?，k?k0，那么我们有knlimn???k?1?kk?1 a.s.
证明：具体可以参见E.Csaki etc（1993）中的引理2的证明。
引理3.3：令{Xi}i?1是一列具有普通分布函数F(x)的独立同分布的随机变量序列，现在假定{un},{vn}对任意的0???13?，c>0满足F(un)?F(vn)?cnlogn?，且n1(?F(v)n是有界的，
那么Pn?证明：
clogn?。
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Pn?P(vn?Mn?un)?F(un)?F(vn)?(F(un)?F(vn))(Fn?1nnn(un)?...?Fn?1(vn))?n(F(un)?F(vn))F(vn)?n(F(un)?F(vn))e?n(F(un)?F(vn))e??nlog?1?(1?F(vn))??2n(1?F(vn))
clogn?引理3.4：令{Xi}i?1是一列具有普通分布函数?(x)的独立同分布规范化的高斯随机变量序列，现在假定对任意的0???13,c?0,{un},{vn}满足un?vn?logc??12，并且
nn(1??(vn))是有界的，那么
clogn?Pn?。
证明：
Pn?P(vn?Mn?un)??(un)??(vn)?(?(un)??(vn))(?n?1nnn(un)?...??n?1(vn))?n(?(un)??(vn))?(vn)?n?(un)(un?vn)e??clognclogn??nlog?1?(1??(vn))?
e?2n(1??(vn))这里的?(x)指的是标准正态分布的密度函数。
引理3.5：令{Xi}i?1是一列独立同分布的随机变量序列，对于任一实数{ui}i?1，如果满足 1?k?l,则P(Mk?uk,Ml?ul?P(Mk?uk)P(Ml?ul)?kl??。
证明：具体可以参见Fahvner,I（1998）的引理2的证明。
定理2.1的证明：如果不是Pk?0就是Pl?0，那么很明显可以得到Cov(?k,?l)?0，所以现在我们可以假定PkPl?0，则应用引理（3.5），可以得到