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参加保险的的士每年交800元的保险费。若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不少于200000元且不多于250000元的概率。 解
设X为一年里出事故的总次数，则X?B（500，0.006）。 要使保险公司一年赚钱不少于200000元且不多于250000元，则
200000?500?800-50000X?250000
?3?X?4 X?4)= ?(4?3500?0.006?0.994)??(3?3500?0.006?0.994)
?P(3? =?(0.58)??(0)=21.9%
即保险公司一年赚钱不少于200000元且不多于250000元得概率为21.9%。 2.2 中心极限定理在决策问题中的应用
决策是为了达到某种预定的目标，在若干可供选择方案中决定一个合适方案的过程。那么在就某事的可行性进行决策时，单个人认为是否可行称为个体决策，几个人（至少3个人）按照少数服从多数的方法决定是否可行称为集体决策。俗话说，人多力量大，那么我们习惯上认为的集体正确决策的概率大于每个单个个
体正确决策的概率是否正确呢？下面将应用中心极限定理来讨论分析这个问题。
首先，我们给出一些简单的数据，利用特殊法看看该说法是否正确。见表4。记n为参与集体决策的人数，假定每个个体做出正确决策的概率相同，且均为p，决策方式也是根据少数服从多数原则，则在空格中所填数据为集体决策正确的概率，记为P集正（其中n=30、40时应用中心极限定理计算P集正）。
集体决策做出正确决策的概率 表4
P集正 n 3 5 10 20 30 40 p=0.25 p=0.5 p=0.75 0.1562 0.1035 0.0197 0.0039 0.0009 0.0001 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.8438 0.8965 0.9219 0.9861 0.9991 0.9999 从表4中，我们可以看到以下两个情况：
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1?当p?0.25?(0,)时，随着n的增加，P集正逐渐下降?2?1?情况一：?当p?0.5时，P集正?，与n无关2?1?当p?0.75?(，时1)，随着n的增加，P集正逐渐增加?2?，
由此我们得出第一个猜测，
1?当p?(0,)时，随着n的增加，P集正逐渐下降?2?11?猜测一：?当p?时，P集正?，与n无关。
22?1?当p?(，时1)，随着n的增加，P集正逐渐增加?2?1?当p?0.25?(0,)时，P集正?p?2?情况二：?当p?0.5时，P集正?p，
?1?当p?0.75?(，时1)，P集正?p?2显然由这一情况可知，集体正确决策的概率大于每个单个个体正确决策的概率这一说法是不一定正确的，同时我们也得出了第二个猜测，
1?当p?(0,)时，P集正?p?2?1?猜测二：?当p?时，P集正?p2?1?当p?(，时1)，P集正?p?2?。
现在就利用一般法检验两个猜测是否正确，下面将结合中心极限定理来做出判断。设X为n个人中做出正确决策的人数，令
?1,第i个人的决策正确Xi??i?1,2,...,n，
?0,第i个人的决策错误记P(Xi?1）?p,P(Xi?0）?1?p，则
nX??i?1Xi,EX?np,DX?np(1?p)。
将X标准化，并由中心极限定理可得
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X?npnp(1?p)? N(0,1)。
当n成分大时，
nX?npnp(1?p)?np22)?1??() (8) np(1?p)np(1?p)n?npn P(X?)?P(2?为下面讨论方便，令
nf(n)??np?p2 p(1?p)12?np(1?p)nn ?P(X?)?1??(f(n)) (9) 那么对于猜测一：（1）当0?p?212时，f(n)是大于0的单调增函数，
若n1?n2,则0?f(n1)?f(n2)
??(f(n1))??(f(n2))
?P(X?n12）>P(X?n22。 ） 同理可证明（2），（3）。 所以猜测一是正确的。
对于猜测二：当n充分大时，我们可以得到
1n?若0?p?,则f(n)???,此时P(X?)?0;?22?1n1? ?若p?,则f(n)?0,此时P(X?)?;222?1n?若?p?1,则f(n)???,此时P(X?)?1。?22?由此可知，当n充分大时，若
1212?p?1则P(X?nn小于1的常数，所以必定有P(X?)?p，即
n212221)无限趋近于1，而p是一个大于?p?1是P(X?n2)?p的必要条
122件；相反当P(X?)?p时，是否也有则
若p=?p?1呢？不妨采用反证法说明。，
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nP(X?12n2)?1??(12)=>p， 2np(1?p)?np矛盾。若0 nP(X?12n2)?1??(2)趋于0， np(1?p)n?np而p是一个大于0小于能属于（ 12的常数， 所以P(X?)也不可能大于p,矛盾。即p只 212?p?1。 [6]，1）。因此，当n充分大时，P集正?p的充要条件为在验证猜测一与二的基础上，我们可以得出这样的结论：当且仅当0.5 现实生活中，当厂家的生产量大于需求量时，会导致商品的积压以及商品价值难以体现；而当厂家的生产量小于需求量时，供给又难以满足社会需求。为了尽量防止“供”过于大于“求”及尽可能的满足社会需求度，我们就要利用中心极限定理来估算一些值，具体如下。 2.3.1 根据现有生产能力及用户需求状态，估算能满足社会需求的可靠程度 某工厂负责供应某地区n个人的商品供应，在一段时间内每人需用一件该商品的概率为p，假定在这段时间内每个人购买与否彼此独立，现该工厂仅生产M件商品，试估计能满足该地区人们需求的概率?。 若记 ?1，第i个人购买该商品，i=1,?,n Xi???0，第i个人不购买该商品则 nn P(?Xi?M)?P(i?1?i?1Xi?np?M?npnp(1?p)np(1?p))??(M?npnp(1?p))??, 通过查正态分布表可求得?。 理学院毕业（设计）论文 第 15 页 2.3.2 根据社会需求状态来确定生产任务 某工厂负责供应某地区n个人的商品供应，在一段时间内每人需用一件该商品的概率为p，假定在这段时间内每个人购买与否彼此独立，现该工厂至少有?的把握满足社会需求，试问该工厂需要生产商品的件数M。 若记 ?1，第i个人购买该商品，i=1,?,n Xi???0，第i个人不购买该商品则 N?i?1Xi?N(n,p) nn ?P(?Xi?M)?P(i?1?i?1Xi?np?M?npnp(1?p)np(1?p))??(M?npnp(1?p))??， 令 ?(x?)??， 则 M?np?x?np(1?p)， （11） 所以该工厂至少需要生产np?x?np(1?p)件商品。 2.3.3 根据需求及产品质量情况来确定生产量 某工厂负责供应某地区的商品供应，该商品的次品率为p,而在一段时间内共需M件该商品且要求至少有?的可靠程度来保证居民购买到的是正品，求该工厂的生产量N。若记 ?1，第i件商品是次品，i=1,?,N， Yi???0，第i件商品不是次品则 N?Yi?1i?N(N,p)， 所以由