全国各地高考数学试题分类汇编
（函数与导数）
1. （2012辽宁）设函数f(x)?x?R?满足f(?x)?f?x?,f?x?=f?2-x?，且当x??0,1??13?时，f?x?=x3.又函数g?x?=xcos??x?，则函数h?x?=g?x?-f?x?在?-,?上的
?22?零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】由f(?x)?f?x?知,所以函数f(x)为偶函数，所以f?x?=f?2-x?=f?x-2?，
os所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f?0?=0,f?1?=1，而g?x?=xc??为?x?1??1??3?偶函数，且g?0?=g??=g?-?=g??=0，在同一坐标系下作
?2??2??2??13??13?出两函数在?-,?上的图像，发现在?-,?内图像共有6个
?22??22??13?公共点，则函数h?x?=g?x?-f?x?在?-,?上的零点个数为6，
?22?故选B.
2.（2012安徽理）（本小题满分13分）K] 设f(x)?aex?1?b(a?0) xae （I）求f(x)在[0,??)上的最小值；
（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?x3x；求a,b的值。 211a2t2?1【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at??b?y??a?2?
atatat2 ①当a?1时，y??0?y?at?1?b在t?1上是增函数 at1?b a 得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a? ②当0?a?1时，y?at? 当且仅当at?1(t?ex?1?b?2?b at1,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2 a（II）f(x)?aex?11x??b?f(x)?ae?
aexaex12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2?? 由题意得：? 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?3.(2012安徽文)（本小题满分12分） 设定义在（0，+?）上的函数f(x)?ax?（Ⅰ）求f(x)的最小值；
（Ⅱ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?【解析】（I）f(x)?ax?3x，求a,b的值。 21?b(a?0) ax11?b?2ax??b?b?2 axax1 当且仅当ax?1(x?)时，f(x)的最小值为b?2
a313 （II）由题意得：f(1)??a??b? ①
2a2113 f?(x)?a?2?f?(1)?a?? ②
axa2 由①②得：a?2,b??1
4．(2012北京理)（（本小题共13分）
已知函数f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx
(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求
a、b的值；
(2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）
上的最大值，
解：（1）由?1，c?为公共切点可得：
f(x)?ax2?1(a?0)，则f?(x)?2ax，k1?2a， g(x)?x3?bx，则f?(x)=3x2?b，k2?3?b，
?2a?3?b①
又f(1)?a?1，g(1)?1?b，
?a?1?1?b，即a?b，代入①式可得：??a?3． b?3?14（2）?a2?4b，?设h(x)?f(x)?g(x)?x3?ax2?a2x?1 则h?(x)?3x2?2ax?a2，令h?(x)?0，解得：x1??，x2??； ?a?0，????， a?a??a?a??原函数在????，??单调递增，在??，??单调递减，在??，???上单2?6???2?6?a2a614a2a6调递增 aa①若?1≤?，即a≤2时，最大值为h(1)?a?； 42a?aa②若???1??，即2?a?6时，最大值为h?????1 262?2?a?a③若?1≥?时，即a≥6时，最大值为h?????1． 6?2?综上所述： a2a?当a??0，2?时，最大值为h(1)?a?；当a??2,???时，最大值为h?????1 4?2? 5. (2012福建理)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?m?|x?2|,m?R，且f(x?2)?0的解集为[?1,1]。 （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a,b,c?R，且
111???m，求证：a?2b?3c?9。 a2b3c【解析】（1）∵f(x?2)?m?x???∴x?m，
∴m?0??m?x?m f(x?2)?0??1?x?1?m?1
111 （2）由（1）知???1,a,b,c?R,由柯西不等式得（lby lfx）
a2b3c111a?2b?3c?(a?2b?3c)(??)a2b3c?(a.1112?2b.?3c.)?9 a2b3c
6. (2012福建理)（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ex?ax2?ex,a?R
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y?f(x)上存在唯一的点P，曲线在
该点处的切线与曲线只有一个公共点P。 解：（Ⅰ）f(x)?ex?ax2?ex?f?(x)?ex?2ax?e 由题意得：f?(1)?e?2a?e?0?a?0 f?(x)?ex?e?0?x?1,f?(x)?0?x?1
得：函数f(x)的单调递增区间为(1,??)，单调递减区间为(??,1) （Ⅱ）设P(x0,f(x0))； 则过切点P的切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) 令g(x)?f(x)?f?(x0)(x?x0)?f(x0)；则g(x0)?0 切线与曲线只有一个公共点P?g(x)?0只有一个根x0 g?(x)?f?(x)?f?(x0)?ex?ex0?2a(x?x0)，且g?(x0)?0 （1）当a?0时，g?(x)?0?x?x0,g?(x)?0?x?x0 得：当且仅当x?x0时，g(x)min?g(x0)?0 由x0的任意性，a?0不符合条件（lby lfx） （2）当a?0时，令
h(x)?ex?ex0?2a(x?x0)?h?(x)?ex?2a?0?x?x??ln(?2a)
①当x??x0时，h?(x)?0?x?x0,h?(x)?0?x?x0
当且仅当x?x0时，g?(x)?g?(x0)?0?g(x)在x?R上单调递增
?g(x)?0只有一个根x0
②当x??x0时，h?(x)?0?x?x?,h?(x)?0?x?x?
得：g?(x?)?g?(x0)?0，又x???,g?(x)???,x???,g?(x)??? 存在两个数x0?x??使，g?(x0)?g?(x??)?0
得：g?(x)?0?x0?x?x???g(x??)?g(x0)?0又x???,g?(x)??? 存在x1?x??使g(x??)?0，与条件不符。 ③当x??x0时，同理可证，与条件不符
从上得：当a?0时，存在唯一的点P(ln(?2a),f(ln(?2a))使该点处的切线与曲线只有一个公共点P
7. (2012广东理)（本小题满分14分）
设a?1，集合A??x?Rx?0?，B?x?R2x2?3?1?a?x?6a?0，D?A?B． （1）求集合D（用区间表示） （2）求函数f(x)?2x3?3(1?a)x2?6ax在D内的极值点。
解．（1）由2x2?3?1?a?x?6a?0有
????3?1?a??2?4?2?6a?3?3a?1??a?3?
1○1??0，即3?3a?1??a?3??0 有 ?a?3
3??又? a?1
?a?1时，2x?当132?3?1?a?x?6a?0恒成立。B=R
?D?A?B?A??0,???
○2当??0时，a?12，B?x?R2x?4x?2?0??xx?1? 3???D?A?B??0,1???1,???
○3当??0时，即a?1）当0?a?1 31时，方程2x2?3?1?a?x?6a?0有两个不同的根x1,x2. 3