1?lnx?kx解：(I)f?(x)?， ex由已知，f?(1)?1?k?0，∴k?1. e1?lnx?1x(II)由(I)知，f?(x)?. ex设k(x)??lnx?1，则k?(x)??1x11??0，即k(x)在(0,??)上是减函数， x2x由k(1)?0知，当0?x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0， 当x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,??).
(III)由(II)可知，当x?1时，g(x)?xf?(x)≤0＜1+e?2，故只需证明g(x)?1?e?2在0?x?1时成立.
当0?x?1时，ex＞1，且g(x)?0，∴g(x)?1?xlnx?x?1?xlnx?x. ex设F(x)?1?xlnx?x，x?(0,1)，则F?(x)??(lnx?2)， 当x?(0,e?2)时，F?(x)?0，当x?(e?2,1)时，F?(x)?0， 所以当x?e?2时，F(x)取得最大值F(e?2)?1?e?2. 所以g(x)?F(x)?1?e?2.
综上，对任意x?0，g(x)?1?e?2.
23．（2012上海理）已知函数f(x)?lg(x?1).
（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）
（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数
y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）
?2?2x?0解：（1）由?，得?1?x?1.
x?1?0? 由0?lg(2?2x)?lg(x?1)?lg2x??21x?1得1?2?2xx?1?10. ……3分
因为x?1?0，所以x?1?2?2x?10x?10，?2. ?x?133??1?x?1 由?2得?2. ……6?x?1331??3?x?3分
（2）当x?[1,2]时，2-x?[0,1]，因此
y?g(x)?g(x?2)?g(2?x)?f(2?x)?lg(3?x). ……10分
由单调性可得y?[0,lg2].
因为x?3?10y，所以所求反函数是y?3?10x，x?[0,lg2]. ……14分
24. （2012上海文）已知函数f(x)?lg(x?1).
①若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；
②如果g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数y?g(x)
(1?x?2)的反函数.
?21?答案：①??,?
?33?②y?3?10x(0?x?lg2)
25.（2012四川理）(本小题满分14分)
an已知a为正实数，n为自然数，抛物线y??x?与x轴正半轴相交于点A，
22设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距. （Ⅰ）用a和n表示f(n)；
f(n)?1n3（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值； ?f(n)?1n3?1（Ⅲ）当0?a?1时，比较?k?1n27f(1)?f(n)1与?的大小，并说明理由. 4f(0)?f(1)f(k)?f(2k)
?
解：（1）由已知得，交点A的坐标为???
?
a?1n2,0?y???求导得，对xa22???
n
y??2x程
为
'则抛
n物线在点
nA
n处的
n切线方
y??2a(x?an2),即y??2ax?a.则f(n)?a
n(2)由（1）知f(n)=a即知，
f(n)?1n3n3,则?3成立的充要条件是?2n?1 af(n)?1n?1an?2n3?1对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥17
当a?17,n?3时,
an?4?(1?3)?1?Cn?3?Cn?3?Cn?3??n12233n
?1?Cn?3?Cn?3?Cn?312233
?1?2n?321?n5(n?2)?(2n?5)? ???2?>2n3+1
当n=0,1,2时，显然(故当a=17时，
17)3n?2n?1
3f(n)?1?f(n)?1n对所有自然数都成立 n?13所以满足条件的a的最小值是
n17.
nk?1（3）由（1）知f(k)?a，则?下面证明：?k?1n1??f(k)?f(2k)k?1anf(1)?f(n)a?a1， ?k2kf(0)?f(1)1?a?na127f(1)?f(n)
??.f(k)?f(2k)4f(0)?f(1)首先证明：当0 3则g'(x)?所以，当0 *1x?x12?27x 427k，从而 4a由0 a?ak2k??k?1nn11 ??k2kf(k)?f(2k)k?1a?a27nk??4k?1a27a?a?? 41?an?1 27a?a??41?a27f(1)?f(n)??4f(0)?f(1)n 26．（2012四川文）(本小题满分14分) an已知a为正实数，n为自然数，抛物线y??x?与x轴正半轴相交于点A， 22设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距． （Ⅰ）用a和n表示f(n)； （Ⅱ）求对所有n都有 f(n)?1n?成立的a的最小值； f(n)?1n?1111??????与 f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)（Ⅲ）当0?a?1时，比较 6?f(1)?f(n?1)的大小，并说明理由． f(0)?f(1) anananan或x??，0)．由y'??2x知，解：（Ⅰ）令?x??0，得x?，则A(22222anan(x?)．令x?0，得y?an，∴f(n)?an． 点A处的切线方程为y??222（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)?an，则 f(n)?1n?成立的充要条件是an?2n?1， f(n)?1n?1即知，an?2n?1对于所有的n成立，特别地，取n=1得到a?3． 1当a?3，n≥1时，an?3n?(1?2)n?1?Cn当n=0时，an?2n?1． ?2???2n?1． 故a?3时， f(n)?1n?对所有n都成立． f(n)?1n?1所以满足条件的a的最小值为3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知f(k)?ak． 下面证明： 111f(1)?f(n?1)???????6?． f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)f(0)?f(1)首先证明：当0?x?1时， 1?6x， x?x223设函数g(x)?6x(x2?x)?1，0?x?1，则g?(x)?18x(x?)． 当0?x?时，g?(x)?0；当?x?1时，g?(x)?0． 故g(x)在(0,1)上的最小值g(x)min?g()??0， 所以当0?x?1时，g(x)?0，即得 1?6x． x?x21?6ak，从而 k2ka?a23192323由0?a?1知0?ak?1(k?N*)，因此 111???? f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)111 ????a?a2a2?a4an?a2na?an?1f(1)?f(n?1)2n?6(a?a???a)?6??6?． 1?af(0)?f(1)? 27.(2012天津理)（本小题满分14分）已知函数f(x)=x?ln(x+a)的最小值为0，其中a>0. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若对任意的x?[0,+?),有f(x)?kx2成立，求实数k的最小值；