故当t?1时，g(t)取最大值g(1)?1．因此，当且仅当即a?1时，①式成立．
综上所述，a的取值集合为?1?．
1?1， af(x2)?f(x1)eax2?eax1（Ⅱ）由题意知，k???1.
x2?x1x2?x1eax2?eax1令?(x)?f?(x)?k?ae?,则
x2?x1axeax1a(x2?x1)??(x1)??e?a(x2?x1)?1??, x2?x1?eax2a(x1?x2)??(x2)?e?a(x1?x2)?1?. ??x2?x1令F(t)?et?t?1，则F?(t)?et?1． 当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减； 当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增． 故当t?0时，F(t)?F(0)?0,即et?t?1?0.
从而ea(x2?x1)?a(x2?x1)?1?0，ea(x1?x2)?a(x1?x2)?1?0,
eax1eax2又?0,?0,所以?(x1)?0,?(x2)?0. x2?x1x2?x1因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线， 所以存在c?(x1,x2)，使得?(c)?0．又??(x)?a2eax?0,?(x)单调递增，
1eax2?eax1故这样的c是唯一的，且c?ln．
aa(x2?x1)1eax2?eax1故当且仅当x?(ln,x2)时， f?(x)?k．
aa(x2?x1)综上所述，存在x0?(x1,x2)，使f?(x0)?k成立，且x0的取值范围为
1eax2?eax1(ln,x2)． aa(x2?x1)13.（2012江苏卷）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点. 已知a,b是实数，1和-1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点.
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点; (3)设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2,2]，求函数y?h(x)的零点个数 解
.(1)
由
题
设
知
f?(x)?3x2?2ax?b，且
f(?1)?3?2a?b?0,f(1)?3?2a?b?0
解得a?0,b??3
(2)由（1）知f(x)?x3?x，因为f(x)?2?(x?1)2(x?2)
所以g?(x)?0的根为x1?x2?1,x3??2,于是函数g(x)的极值点只能是1或-2 当x??2时,g?(x)?0;当?2?x?1时, g?(x)?0,故-2是g(x)的极值点. 当?2?x?1或x?1时, g?(x)?0,故1不是g(x)的极值点. 所以g(x)的极值点是-2.
(3)令f(x)?t,则h(x)?f(t)?c,先讨论关于x的方程f(x)?d根的情况,d???2,2?
当d?2时,由(2)可知，f(x)??2的两个不同根为1和-2，注意到f(x)是奇函数，所以
f(x)?2的两个不同根为-1和2.
当d?2时，因为
f(?1)?d?f(?2)?d?2?d?0,f(1)?d?f(?2)?d??2?d?0
所以-2，-1,1,2都不是f(x)?d的根.由(1)知f?(x)?3(x?1)(x?1)
① 当x?(2,??)时,f?(x)?0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)?f(2)?2 ,此时
f(x)?d无实根,同理, f(x)?d在(??,?2)上无实根.
② 当x?(1,2)时, f?(x)?0,于是f(x)是单调增函数,又
f(1)?d?0,f(2)?d?0,
y?f(x)?d的图像不间断,所以f(x)?d在(1,2)内有唯一实根.
同理, f(x)?d在(-2,-1)内有唯一实根.
③ 当x?(?1,1)时,f?(x)?0,故f(x)是单调减函数,又f(?1)?d?0,f(1)?d?0, y?f(x)?d的图像不间断, 所以f(x)?d在(-1,1)内有唯一实根. 由上可知:当d?2时,f(x)?d有两个不同的实根x1,x2满足x1?1,x2?2; 当d?2时，f(x)?d有三个不同的实根x3,x4,x5满足xi?2,i?13,4,5, 现考虑y?h(x)的零点.
（ⅰ）当c?2时，f(t)?c有两个不同的根t1,t2满足t1?1,t2?2,
而f(x)?t1有三个不同的实根，f(x)?t2有两个不同的实根，故y?h(x)有5个零点.
（ⅱ）当c?2时，f(t)?c有三个不同的根,t3,t4,t5满足ti?2,i?3,4,5, 而f(x)?ti(i?3,4,5)有三个不同的根,故y?h(x)有9个零点.综上可知,当c?2时，函数y?h(x)有5个零点; 当c?2时，函数y?h(x)有9个零点..
14. （2012江西文）（本小题满分14分）
已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在?0,1?上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a的取值范围；
（2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在?0,1?上的最大值和最小值。 【解析】（1）f(0)?c?1，f(x)?(a?b?c)e?0,a?b??1，f'(x)?(2ax?b)ex因为在[0,1]上单调递减则令f'(x)?(2ax?b)ex?0即2ax?b?0解得a?1 （2）g(x)?(ax2?bx?1)e?x?(2ax?b)ex
g'(x)?(2ax?b)e?x?e?2x(ax2?bx?1)?2aex
15. （2012辽宁） （本小题满分12分）设
3f?x?=ln?x+1?+x+1+ax+b?a,b?R,a,b为常数?，曲线y=f?x?与直线y=2x在
?0,0?点相切.
（1）求a,b的值；
（2）证明：当0 【解析】（1）由y=f?x?的图像过?0,0?点，代入得b=-1 由y=f?x?在?0,0?处的切线斜率为 a=0…3分 313?1?，又y'x=0=?++a?=+a，得2?x+12x+1?x=02（2）（证法一）由均值不等式，当x>0时，2记 h'?x?1x+31 2h?x?=f?x?-9xx+6， x+?x5则 2-4++2x=2?x+?1x1?x+??x6??1?x?2?x+6?-216?x+1?，令gx=x+63-216x+1，则当0 =??????24?x+1??x+6?g'?x?=3?x+6?-216<0（lby lfx） 2因此g?x?在?0,2?内是减函数，又由g?0?=0，得g?x?<0，所以h'?x?<0 因此h?x?在?0,2?内是减函数，又由h?0?=0，得h?x?<0， 于 f?x?<是当0x时， 9x …12分 x+6（证法二） 由（1）知f2?x?=l?nx?+1由均值不等式，当x>0时，+x，+1-1xx+1<+1 x+?11x<+1x+1=+2，故??21-x-1=<0，故k?x?<0，即ln?x+10时，f?x? 231??1h'?x?=f?x?+?x+6?f'?x?-9 16. （2012辽宁）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 9x x+6