已知f?x?=ax+1?a?R?，不等式f?x??3的解集为?x-2?x?1? （1）求a的值
?x?（2）若f?x?-2f???k恒成立，求k的取值范围
?2?【命题意图】本主要考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的意义，是容易题.
【解析】（1）由ax+1?3得-4?ax?2，又f?x??3的解集为?x-2?x?1?，所以 当a?0时，不合题意 当a>0时，-
42?x?，得,a?2 aa??1,x?-1?1??x?（2）记h?x?=f?x?-2f??，则h?x?=?-4x-3,-1 2?2??1?-1,x?-??2所以h?x??1，因此k?1 17.（2012辽宁文）(本小题满分12分) 设f(x)?lnx?x?1，证明： (Ⅰ)当x﹥1时，f(x) ﹤ (Ⅱ)当1?x?3时 【答案与解析】 39(x?1)证明:(1)记g(x)?lnx?x?1?(x?1)，f(x)? 2x?53（ x?1） 2,则当x?1时, g?(x)?113???0 x2x2 又g(0)=1,所以g(x)?0 3 所以f(x)?(x?1) 2（2）记h(x)?f(x)?9(x?1).由(1)得 x?5h?(x)? 11542?x54????x2x(x?5)22x(x?5)23?x?554(x?5)?216x??4x(x?5)24x(x?5)2 令g(x)?(x?5)3?216x.则当1?x?3时 g??(x)?3(x?5)2?216?0 因此g(x)在?1,3?内是减函数,又由g(0)=1,得g(x)?0所以h?(x)?0 所以h(x)在?1,3?内是减函数,又h(1)?0得h(x)?0, 于是当1?x?3时,f(x)? 18.(本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲 3的解集为?x?2?x?1?. 已知f(x)?|ax?1|(a?R)，不等式f(x)??9(x?1). x?5 (Ⅰ)求a的值； x (Ⅱ)若f(x)?2f()?k恒成立，求k的取值范围。 2【答案与解析】 解(1)由ax?1?3得-4?ax?2, 3的解集为?x?2?x?1?, 又f(x)??所以当a?0时,不合题意. 当a:?0时,?42?x?,得a?2. aa??1,(x??1)?x1?(2)记h(x)?f(x)?2f(),则h(x)???4x?3,(?1?x??) 22?1??1,(x??)?2?所以h(x)?1,因此k?1. 19.（2012全国卷理）（本小题满分12分） 1已知函数f(x)满足满足f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?x2； 2（1）求f(x)的解析式及单调区间； 12x?ax?b，求(a?1)b的最大值。 21解（1）f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?x2?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x 2（2）若f(x)? 令x?1得：f(0)?1 f(x)?f?(1)ex?1?x? 得：f(x)?ex?x?12x?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e 212x?g(x)?f?(x)?ex?1?x 2 g?(x)?ex?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增 f?(x)?0?f?(0)?x?0,f?(x)?0?f?(0)?x?0 得：f(x)的解析式为f(x)?ex?x?12x 2 且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0) （2）f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得 2h?(x)?ex?(a?1) ①当a?1?0时，h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增 x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾 ②当a?1?0时，h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1) 得：当x?ln(a?1)时，h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0 (a?1)b?(a?1)2?(a?1)2ln(a?1)(a?1?0) 令F(x)?x2?x2lnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx) F?(x)?0?0?x?e,F?(x)?0?x?e 当x?e时，F(x)max?e 2e 2 当a?e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为 20.（2012全国卷理）（本小题满分10分）选修4?5：不等式选讲 已知函数f(x)?x?a?x?2 （1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集； （2）若f(x)?x?4的解集包含[1,2]，求a的取值范围。 解（1）当a??3时，f(x)?3?x?3?x?2?3 x?2x?3??2?x?3? ??或??或?? ?3?x?2?x?3?3?x?x?2?3?x?3?x?2?3 ?x?1或x?4 （2）原命题?f(x)?x?4在[1,2]上恒成立 ?x?a?2?x?4?x在[1,2]上恒成立 ??2?x?a?2?x在[1,2]上恒成立 ??3?a?0 21.(2012山东理) (本小题满分13分) 已知函数 f(x)?lnx?k（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线exy?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。 （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求y?f(x)的单调区间； （Ⅲ）设g(x)?(x2?x)?f?(x),其中f'(x)为f(x)的导函数，证明：对任意 x?0,g(x)?1?e?2. 1?k?lnx1?klnx?kx???0，解解析：由f(x)?可得，而，即f(x)?f(1)?0xxeee得k?1； 1?1?lnx（Ⅱ）f?(x)?x，令f?(x)?0可得x?1， xe11当0?x?1时，f?(x)??1?lnx?0；当x?1时，f?(x)??1?lnx?0。 xx于是f(x)在区间(0,1)内为增函数；在(1,??)内为减函数。 1?1?lnx1?x2?(x2?x)lnx2x简证（Ⅲ）g(x)?(x?x)， ?exex当x?1时， 1?x2?0,lnx?0,x2?x?0,ex?0，g(x)?0?1?e?2. 1?1?lnx1?x2?(x2?x)lnx2?2x当0?x?1时，要证g(x)?(x?x)。 ??1?exxee只需证1?x2?(x2?x)lnx?ex(1?e?2)，然后构造函数即可证明。 22． (2012山东文) (本小题满分13分) 已知函数f(x)?lnx?k(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线xey?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间； (Ⅲ)设g(x)?xf?(x)，其中f?(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2.[来