23．（2018郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
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人教版九年级上册数学单元测试卷含答案
第22章 二次函数
（满分120分 考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．（2018随州二模）下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ） 1
A．y=2 x（x﹣3） B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2 1
C．y=x+x D．y?x2?2x?3
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【答案】A
【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
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【解答】解：A、y=2 x（x﹣3）=2 x﹣2 x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误； D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误． 【点评】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
2．（2018顺德区模拟）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A．【答案】D
B． C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限； 此时，没有选项符合，
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当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限； 此时，D选项符合，
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
3．（2018南关区校级一模）对于函数y=5x2，下列结论正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于y轴对称
D．无论x取何值，y的值总是正的 【答案】C
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【解答】解：∵二次函数解析式为y=5x2，
∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
4．（2018杭州模拟）当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣（x+3）2+2的取值范围为（ ） A．﹣23≤y≤1 B．﹣23≤y≤2 C．﹣7≤y≤1 D．﹣34≤y≤2 【答案】B
【分析】先根据a=﹣1判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x=﹣3，再根据﹣4≤x≤2，可知当x=﹣3时y最大，把x=2时y最小代入即可得出结论．
【解答】解：∵a=﹣1，
∴抛物线的开口向下，故有最大值， ∵对称轴x=﹣3， ∴当x=﹣3时y最大为2， 当x=2时y最小为﹣23，
∴函数y的取值范围为﹣23≤y≤2，
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【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题的关键．
5．（2018陕西模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，则m的值是（ ）
A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7 【答案】D
【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得． 【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m， ∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），
∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣m﹣4）， ∵它们的顶点相距6个单位长度． ∴|m+4﹣（﹣m﹣4）|=6， ∴2m+8=±6，
当2m+8=6时，m=﹣1， 当2m+8=﹣6时，m=﹣7， ∴m的值是﹣1或﹣7．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．
6．（2018营口模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下 列结论中正确的个数有（ ） ①4a+b=0； ②9a+3b+c＜0；
1③若点A（﹣3，y1），点B（﹣2 ，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C
【分析】由抛物线对称轴可判断①；由抛物线的对称性知x=3时，y＞0，可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与直线y=﹣3交点的横坐标，据此可判断④．
b
【解答】解：由抛物线的对称轴为x=2可得﹣2a =2，即4a+b=0，故①正确； 由抛物线的对称性知x=0和x=4时，y＞0， 则x=3时，y=9a+3b+c＞0，故②错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为x=2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∵点A到x=2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3， ∴y1＜y3＜y2，故③正确； 令y=a（x+1）（x﹣5），
则抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与y=ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0）， 函数图象如图所示，
由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x﹣5）
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