（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
?40k?b?300【解答】解：（1）由题意得：?，
55k?b?150??k??10解得：?．
?b?700故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700， （2）由题意，得 ﹣10x+700≥240， 解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30）y=（x﹣30）（﹣10x+700）， w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
21
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600， ﹣10（x﹣50）2=﹣250， x﹣50=±5， x1=55，x2=45， 如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
22．（2018乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）． （1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
【分析】（1）直接利用△=b2﹣4ac，进而利用偶次方的性质得出答案； （2）首先解方程，进而由|x1﹣x2|=6，求出答案；
（3）利用（2）中所求得出m的值，进而利用二次函数对称轴得出答案． 【解答】（1）证明：由题意可得：
22
△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5） =1+25m2﹣10m+20m =25m2+10m+1 =（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0， 1
解得：x1=﹣m ，x2=5， 由|x1﹣x2|=6， 1
得|﹣m ﹣5|=6， 1
解得：m=1或m=﹣11 ；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1， 此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2， 由题已知，P，Q关于x=2对称， a+a+n∴ =2，即2a=4﹣n，
2
∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，正确得出方程的根是解题关键．
六、（本大题共12分）
23．（2018郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
??1?b?c?0?b?2，解得：， ???9?3b?c?0c?3??∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
24
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2， ∴不存在．
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
?3m?n?0?m??1，解得：， ??n?3n?3??∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
132933227∴S=2 PFOB=﹣2 t+2 t=﹣2 （t﹣2 ）+8 ．
3
②∵﹣2 ＜0，
327
∴当t=2 时，S取最大值，最大值为8 ． ∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=OB2+OC2 =32 ，
27
8×292315
∴P点到直线BC的距离的最大值为 =8 ，此时点P的坐标为（2 ，4 ）．
32
25
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
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