（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3 ∴B（5，3），
111令x=0，y=﹣2 （x﹣3）2+5=2 ，则C（0，2 ）， 11
△ABC的面积=2 ×（5﹣1）×（3﹣2 ）=5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17．（2018南京）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
【分析】（1）代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
【解答】（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=m+3．
当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
16
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
3
18．（2018云南）已知二次函数y=﹣16 x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，9
﹣2 ）两点． （1）求b，c的值．
3
（2）二次函数y=﹣16 x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程39
﹣16 x2+8 x+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．
932
【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣2 ）分别代入y=﹣16 x+bx+c，得
?c?3?9， ?3??16?4b?c???2?16?c?3?解得?9；
b??8?
39
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣16 x2+8 x+3． 932252
△=（8 ）﹣4×（﹣16 ）×3=64 ＞0，
3
所以二次函数y=﹣16 x2+bx+c的图象与x轴有公共点．
39
∵﹣16 x2+8 x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8 ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．
19．（2018昆明）如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，
17
且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）将AB所在直线的解析式求出，利用直线AP与AB垂直的关系求出直线AP的斜率k，再求直线AP的解析式，求直线AP与x轴交点，求点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
?a?b??3?a?1?【解答】解：（1）由题意得?b，解得?，
??2?b??4?2a?∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x， 令y=0，得x2﹣4x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤4； （2）设直线AB的解析式为y=mx+n，
?m?n??3?m?1则?，解得?，
4m?n?0n??4??∴y=x﹣4，
设直线AP的解析式为y=kx+c， ∵PA⊥BA， ∴k=﹣1，
则有﹣4+c=0，解得c=4，
?y?x2?4x?x??1?x?4∴?，解得?或?
?y?5?y?0?y??x?4
18
又∵当x=4，y=0时，P为（4，0），不在第二象限，故舍去 ∴点P的坐标为（﹣1，5），
∴△PAB的面积=8×5﹣8×2÷2﹣3×3÷2﹣5×5÷2=15．
【点评】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
20．（2017石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）的顶点为A． （1）求顶点A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）交于B，C两点．
①当a=2时，求线段BC的长；
②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）配方得到y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3，于是得到结论； （2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图．令y=5得到2x2﹣8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2﹣4ax+4a﹣3=5，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3， ∴顶点A的坐标为（2，﹣3）；
（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图． 令y=5，得
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2x2﹣8x+5=5， 解得，x1=0，x2=4， 42a∴ 线段BC的长为4，
a②令y=5，得ax2﹣4ax+4a﹣3=5， 2a－22a2a+22a
解得，x1= ，x2= ， aa42a∴线段BC的长为a ， ∵线段BC的长不小于6， 42a
∴a ≥6， 8
∴0＜a≤ ．
9
【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的顶点坐标，正确的作出图象是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2018扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
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