吉林省长春市2005年至2015年中考数学压轴题
2005年26．如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=
34x，AD=8。矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD
的边经过点B到达点C，用了14秒。 (1)求矩形ABCD的周长。(2分)
(2)如图②，图形运动到第5秒时，求点P的坐标。(3分)
(3)设矩形运动的时间为t，当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。(3分)
(4)当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似(或位似)?若能，求出t的值；若不能，说明理由。(4分) 解：
1
2
2006-26．如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?010，?，，?84?，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，0?出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求正方形ABCD的边长．（2分）
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．（2分）
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4分） （4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90?的点P有 个．（2分）
?b4ac?b2?，（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是??） ?．
4a??2a2
yD s 28 C A P B 20 O E Q 图①
x O 10图②
t 3
2006答案：
26．（1）作BF?y轴于F．
?A?010，?，B?8，4?，
?FB?8，FA?6． ?AB?10．
（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．
又?AB?10，10?10?1． ?P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG?y轴于G，则PG∥BF．
?GAAPGAFA?AB，即6?t10． ?GA?35t．
?OG?10?35t．
?OQ?4?t，
?S?12?OQ?OG?12?t?4???3??10?5t??．
即S??310t2?195t?20． 19??b2a??5?19，且0≤19≤2???3?3310， ??10???当t?193时，S有最大值． 此时GP?4765t?15，OG?10?35t?315， ?点P的坐标为??7631??15，5??．
方法二：当t?5时，OG?7，OQ?9，S?12OG?OQ?632．设所求函数关系式为S?at2?bt?20．
?抛物线过点?10，28?，??63??5，2??，
?100a?10b???20?28，???25a?5b?20?63
2.
（2分）
（4分）
（6分）
（8分）
4
????a??3，?10
???b?195.?S??3210t?195t?20． 19??b2a??5?19，且0≤19≤10， 2???3?33??10???当t?193时，S有最大值． 此时GP?7615，OG?315， ?点P的坐标为??7631??15，5??．
（4）2．
（6分）
（8分） （10分）5