2014-24．（12分）（2014?长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式； （4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
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2014-24答案： 解答：解 ：（1）当点N落在BD上时，如图1． ∵四边形PQMN是正方形， ∴PN∥QM，PN=PQ=t． ∴△DPN∽△DQB． ∴． ∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4， ∴． ∴t=． ∴当t=时，点N落在BD上． （2）①如图2， 则有QM=QP=t，MB=4﹣t． ∵四边形PQMN是正方形， ∴MN∥DQ． ∵点O是DB的中点， ∴QM=BM． ∴t=4﹣t． ∴t=2． ②如图3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°． ∵AB=4，AD=3， ∴DB=5． ∵点O是DB的中点， ∴DO=． ∴1×t=AD+DO=3+． ∴t=． ∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜． （3）①当0＜t≤时，如图4． S=S=PQ2=PA2=t2正方形PQMN． ②当＜t≤3时，如图5， ∵tan∠ADB==， ∴=．
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∴PG=4﹣t． ∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4． ∵tan∠NFG=tan∠ADB=， ∴． ∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3． ∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF =t2﹣×（﹣4）×（t﹣3） =﹣t2+7t﹣6． ③当3＜t≤时，如图6， ∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．∴∠PQM=∠DAB=90°． ∴PQ∥AD． ∴△BQP∽△BAD． ∴==． ∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3， ∴． ∴BQ=，PQ=． ∴QM=PQ=． ∴BM=BQ﹣QM=． ∵tan∠ABD=， ∴FM=BM=． ∴S=S梯形PQMF=（PQ+FM）?QM =[+]? =（8﹣t）2 =t2﹣t+． 综上所述：当0＜t≤时，S=t2． 当＜t≤3时，S=﹣t2+7t﹣6． 23
当3＜t≤时，S=t2﹣t+． （4）设直线DN与BC交于点E， ∵直线DN平分△BCD面积， ∴BE=CE=． ①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7， 则有△DPN∽△DHE． ∴． ∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE=，EH=AB=4， ∴． 解得；t=． ②点P在DO上，连接OE，如图8， 则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN． ∴△DPN∽△DOE． ∴． ∵DP=t﹣3，DO=，OE=2， ∴PN=（t﹣3）． ∵PQ=（8﹣t），PN=PQ， ∴（t﹣3）=（8﹣t）． 解得：t=． ③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，则有OE=2，OE∥DC． ∴△DSC∽△ESO． ∴． ∴SC=2SO． ∵OC=， ∴SO==． ∵PN∥AB∥DC∥OE， ∴△SPN∽△SOE． ∴． 24
∵SP=3++﹣t=，SO=，OE=2， ∴PN=． ∵PR∥MN∥BC， ∴△ORP∽△OEC． ∴． ∵OP=t﹣，OC=，EC=， ∴PR=． ∵QR=BE=， ∴PQ=PR+QR=． ∵PN=PQ， ∴=． 解得：t=． 综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为、、． 25