故该系统是线性系统。 （2）y(n)?x2(n) 令：输入为x(n?n0)，输出为y'(n)?x2(n?n0)，因为
y(n?n0)?x2(n?n0)?y'(n)
故系统是时不变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]?(ax1(n)?bx2(n))2 ?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
2 ?ax12(n)?bx2(n)因此系统是非线性系统。
3 线性时不变系统（LTI系统）输入与输出之间关系（重点）：
h(n)?T[?(n)]
y(n)?m????x(m)?(n?m)
??y(n)?T[?x(m)?(n?m)]
m???y（n）=
m????x(m)h(n?m)=x（n）*h（n）
?重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积
【说明】离散时间LTI系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列δ(n)的零状态响应。 单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI系统可以由其单位冲激响应h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。在这种情况下， LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y（n）=
m????x(m)h(n?m)=x（n）*h（n）
?物理意义： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。
注意：计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列x(m) 和h(n-m)的图形。利用序列x(m) 和h(n-m)的图形可助我们方便地确定求和区间。 卷积的求解方法：
线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N和M，线性卷积后序列的长度为N＋M－1。 卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。 1）将
和
用
和
表示，画出
和
这两个序列； ；
2）选择一个序列
，并将其按时间翻转形成序列
6
3）将4）将
移位n，得到和
；
相同m的序列值对应相乘后，再相加。
例：已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。 解：（翻转，移位，相乘，相加） y(n)=
m????x(m)h(n?m)=?R(m)R(n?m)
44m?????
例：设x(n)?n,0≤n≤4，h(n)?R4(n), x(n)和h(n)如图1所示。求x(n)和h(n)的卷积y(n)。
4 x(n) R4(n) n 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 n 图1
解 方法一：用图解法求卷积和。
(1) 将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示(图2中(a)、(b)图)。
x(m)4R4(m)m0 1 2 3 4(a)R4(1?m)m-2 -1 0 1(d)R4(5?m)m0 1 2 3 4 5(f)n 0 1 2 3 4 5 6 7 (g)-1 0 1 2(e)0 1 2 3 (b)R4(2?m)m10m-3 -2 -1 0(c)?y(n)R4(?m)m
图2 图解法求卷积过程
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(2) 将h(m)进行反折，形成h(?m)(图2中(c)图)；将h(?m)移位n，得到h(n?m)(图2中(d)、(e)、(f)图)。
(3) 将x(m)和h(n?m)相同m的序列值相乘，再相加，得到y(n)(图2中(g)图)。
y(n)??1,3,6,10,9,7,4? 1≤n≤7
再讨论解析法求线性卷积。
y(n)?用式
m????x(m)h(n?m)??
求解上式首先要根据x(m)和h(n?m)的非零值区间确定求和的上下限，x(m)的非零值区间为1≤m≤4，h(n?m)的非零值区间为0≤n?m≤3，或n?3≤m≤n，由两个非零值区间可得n的
取值区间为1≤n≤7，它们的乘积x(m)?h(n?m)的非零值区间应满足： 1≤m≤4 和 n?3≤m≤n
因此
当 n?1、n?7时，y(n)?0；
当 1≤n≤3时，
y(n)??m?1?m?0nn(n?1)2； (n?1)(8?n)2。
当 4≤n≤7时，
y(n)?m?n?3?4m?1?与图解法结果一致。
y(n)用公式表示为 ?n(n?1)/2?y(n)??(n?1)(8?n)/2?0?
1≤n≤34≤n≤7其他
方法二：当序列x(n)和h(n)的长度分别为有限长N和M时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。
如图1所示：
x(n)?0,1,2,3,4???，h(n)??1,1,1,1?
?
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y(n)?0,1,3,6,10,9,7,4???
例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)，输入为x(n)，求系统的输出y(n)。
已知：x(n)?u(n)，h1(n)??(n)??(n?4)，h2(n)?au(n)。
n解：设第一个系统的输出为?(n)，则
?(n)?x(n)?h1(n)?u(n)?[?(n)??(n?4)]?u(n)?u(n?4)??(n)＋?(n?1)＋?(n?2)＋?(n?3)
因而输出为
y(n)??(n)?h2(n)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?anu(n)?anu(n)?an?1u(n?1)?an?2u(n?2)?an?3u(n?3)
4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）
1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|x(n)|??，则|y(n)|??（记住!!）
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
n????|h(n)|??（记住!!）
?或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1 2)因果系统：n0时刻的输出
y(n0)只由n0时刻之前的输入x(n),n?n0决定（记住!!）
线性移不变系统是因果系统的充要条件：h(n)?0,n?0（记住!!） 或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx 3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：或：H(z)的极点在单位园内 H(z)的收敛域满足：|z|?Rx?,Rx?n????|h(n)|??，h(n)?0,n?0
??1
例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。
1N?1(1)y(n)?x(n?k)； ?Nk?0（2）y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)；
解：（1）只要N?1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果
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x(n)?M，则y(n)?M，因此系统是稳定系统。
（2）如果
x(n)?M，y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)?2n0?1M，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因
为输出还和x(n)的将来值有关。
注意：如果给出的是h(n)，用上面要求记住的充要条件判断！ 1.3 线性常系数差分方程 1 差分方程定义
卷积和是一种LTI 系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述LTI系统的输入输出关系。
?ak?0Nky[n?k]??bkx[n?k]
k?0M差分方程给出了系统响应y[n]的内部关系。为得到y[n]的显式解，必须求解方程。 2差分方程求解（重点）： 1经典法 ○2递推法 ○3变换域法 ○
例：设系统的差分方程为y(n)?0.5y(n?1)?1.5x(n)，输入序列为x(n)??(n)，求输出序列y(n)。 解：一阶差分方程需一个初始条件。
设初始条件为：y(?1)?0
则 y(0)?0.5y(?1)?1.5x(0)?1.5 y(1)?0.5y(0)?1.5x(1)?0.75 ? ?
y(2)?0.5y(1)?1.5x(2)?0.375
?1.5?(0.5)nu(n)
设初始条件改为：y(?1)?1
y(n) 则 y(0)?0.5y(?1)?1.5x(0)?2 y(1)?0.5y(0)?1.5x(1)?1 ? ?
ny(n)?2?(0.5)u(n)
y(2)?0.5y(1)?1.5x(2)?0.5
该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。 1.4
模拟信号数字处理方法
1 模拟信号数字处理框图（重点）
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