线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
n????|h(n)|??
?或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（牢记此结论!） 2)因果系统：n0时刻的输出
y(n0)只由n0时刻之前的输入x(n),n?n0决定
线性移不变系统是因果系统的充要条件：h(n)?0,n?0
或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx（牢记此结论!） 3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：
n????|h(n)|??，h(n)?0,n?0
?1
?或：H(z)的极点在单位园内（牢记此结论!）H(z)的收敛域满足：|z|?Rx?,Rx?例：.一因果LTI 离散时间系统的传输函数H(z)?（n） )。
1n
, 则系统的单位冲激响应为( 0.5u?11?0.5z说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z变换，但要注意系统的因果性如何。
例：因果IIR 离散时间LTI 系统，其传输函数H(z)?例：一FIR离散时间 LTI 系统总是( 稳定)。
说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆”，则系统是稳定的。如果你熟悉了序列的z变换的ROC的性质，则此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其z变换的ROC一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，则系统是稳定的。
对于FIR系统，其单位冲激响应是一个有限长序列，其z变换的ROC为除了无穷远和原点之外的整个z平面，自然包括单位圆，所以FIR系统始终是稳定的。 5 系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定
MMM1，则系统( 稳定)。
1?0.5z?1 X(z)??biz?ak?0i?0Nk?i?A?(1?ziz)?1z?k?(1?zk?1i?1N?A?M(z?z)z?ikz?1)?(z?zk?1i?1N
k)z?N（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）
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第三章：DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。
3.1 离散傅里叶级数
1.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。 周期为N的复指数序列的基频序列为k次谐波序列为由于即
，即
，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个
是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1)，
（*）
式中，1/N是习惯上采用的常数，
是k次谐波的系数。利用
将（*）式两端同乘以
，并对一个周期求和
即
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由于
所以
也是一个以N为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然
是一个周期序列。 令
，则
其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。 2.周期序列的傅里叶变换
思路：由
利用和DTFT的频移特性，可得
傅里叶变换时域、频域对应关系：
根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系：连续→非周期，离散→周期。这种对应关系很重要，要求熟记。
3.2 有限长序列的离散傅立叶变换(DFT) 1 定义
N?1n?0knX(k)?DFT[x(n)]?{DFS[x(?n?N)]}RN(k)??x(n)WN，0≤k≤N?1------记住!
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1N?1?kn x(n)?IDFT[X(k)]?{IDFS[X(?k?N)]}RN(n)?，0≤n≤N?1------X(k)WN?Nk?0记住!
其中， WN2?N?e?j
应当注意，虽然x(n)和X(k)都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列xp(n)和Xp(k)截取其主周期得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。
DFT的隐含周期性：WN?WN例：设x(n)?N?1n?0kk?mNk,m为整数，N为自然数
R4(n)，求x(n)的4点DFT。
?j2?knN解：x(n)的4点离散傅里叶变换为：
X(k)??x(n)e??en?03?j2?kn4?e3?j?k4sin(?k)sin(k)4 k?0,1,2,3
?
2 离散傅立叶变换与DTFT、Z变换的关系(重点) X(k)?X(j?)|??2?kN?X(z)|z?ej2?kN
j?X(e)在区间[0,2?]上的等间隔采样。X(k)为X(z)DFT的物理意义：X（k）为x(n)的傅里叶变换
在Z平面单位圆上的N点等间隔采样。 简答题：
1．一个序列的DFT与序列的傅里叶变换之间的关系是什么？
2．序列的DTFT和序列的z变换间的关系是什么？序列的DFT和序列的Z变换间的关系是什么？ 3 时域分析 (重点!)
记住结论：时域抽样对应频域的周期拓展，频率抽样对应时域的以周期N的周期拓展。
y(n)?这可以表述为如下公式：
m????x(n?mN)? (重点!)
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3.3 离散傅里叶变换的基本性质 1 线性性质
若y(n)?ax1(n)?bx2(n)则Y(k)?DFT[y(n)]?aX1(k)?bX2(k) 2 循环移位性质
设x(n)是长度为M的有限长序列，则x(n)的N点循环移位定义为（N?M）：
y(n)?x((n?m))NRN(n)
循环移位的实现步骤：
序列点数M不够时补零，补到所需点数N(补充N-M个零点)x(n)将x(n)以N为周期延拓为周期序列~x(n)?x((n))N移位~x(n?m)?x((n?m))N取主值序列y(n)?x((n?m))NRN(n)
3 循环卷积定理（重点）
1）设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为
yc(n)?[?h(m)x((n?m))L]RL(n)
m?0L?1式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。 2) 循环卷积矩阵 特点：
x(L?1)x(L?2)?y(0)c??x(0)?y(1)??x(1)x(0)x(L?1)c????y(2)c?＝?x(2)x(1)x(0)????????x(L?1)x(L?2)x(L?3)?y(L?1)c???x(1)??h(0)??h(1)?x(2)????x(3)??h(2)???????x(0)????h(L?1)??（1）第1行是序列{x(0),x(1),?,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M x(n)末尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。 （2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。 25