数字信号处理复习总结(4)

（|z|0时：0≤|Z|

x+22双边序列：x(n),???n??，Rx?总结：a. ROC不包含任何极点。

b.有理 z变换的收敛域ROC由其极点界定。

c. 对于有限长序列x[n],其z变换的收敛域ROC 为整个z-平面，可能在 z = 0 或z = ∞除外。 d. 对于因果序列x[n],其 z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定，其形式为

?|z|?Rx?

z?Rx?。

Im{z}Im{z}Re{z}Re{z}图2.1: 因果序列的z变换的收敛域ROC 图2.2: 反因果序列的z变换的收敛域ROC

e. 对于反因果序列x[n], 其 z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为

z?Rx?。

4. Z反变换(重点)

常用序列的Z变换(重点--记住!!)：

Z[?(n)]?1,|z|?01,|z|?1?11?z 1nZ[au(n)]?,|z|?|a|1?az?11Z[bnu(?n?1)]?,|z|?|b|1?bz?1Z[u(n)]?逆变换

x(n)?2?j?1cX(z)zn?1dzx，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

留数定理：x(n)??[X(z)zn?1在C内极点留数之和]

留数辅助定理：x(n)??n?1[X(z)z在C外极点留数之和] ?16

利用部分分式展开：X(z)?Ak?1?az?1，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。(重点)

k基本要求：用部分分式展开法求z反变换。 例：假设X(z)?( ?(0.5)n11? ，收敛域ROC 为0.3?z?0.5,则 X(z) 的z反变换为?1?11?0.5z1?0.3zu(?n?1)?(0.3)nu(n) )。

说明：本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换的ROC是怎样的，因果序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列的z变换的ROC是怎样的。

??nu(?n?1)?典型序列的z变换表达式是否记住了？

11??z?1ROC:z??这两个典型z

?nu(n)?变换对，对求z变换或逆z变换非常重要。

11??z?1ROC:z??X(z)?例：已知域。

zz?z?0.5z?2，试求与X(z)对应的所有可能的序列x(n)。

解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛

X(z)有两个极点：z1?0.5，z2?2，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况：

z?0.5（1）（2）（3）

，

0.5?z?2，

z?2，三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下：

z?0.5nnx(n)??0.5u(?n?1)?2u(?n?1) 对应左边序列 ∴

nnx(n)?0.5u(n)?2u(?n?1) 对应双边序列 ∴

n0.5?z?2z?2 对应右边序列 ∴ x(n)?0.5u(n)?2nu(n)

X(z)?例：设

1(1?2z?1)(1?0.5z?1) z?2，用部分分式展开法求逆Z变换。

2解：先去掉z的负幂次，以便于求解，将X(z)的分子分母同乘以z，得：

z2X(z)?(z?2)(z?0.5)

AA2X(z)z??1?(z?2)(z?0.5)z?2z?0.5 将等式两端同时除以z，得：zA1?Res[X(z)X(z),2]?(z?2)zz?(z?2)z?2z(z?2)(z?0.5)?z?243

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A2?Res[X(z)X(z),0.5]?(z?0.5)zz4z1z???3z?23z?0.5

?(z?0.5)z?0.5z(z?2)(z?0.5)??z?213

X(z)?因而得：

由收敛域知，x(n)为右边序列，得：主要应用于单阶极点的序列。 5 Z变换的性质

x(n)?4n1?2u(n)??0.5nu(n)33

1线性性质M(z)ZT[m(n)]?aX(z)?bY(z)○

2序列的移位性质 ○

Rm??z?Rm?

X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx? ZT[x(n?n0)]?z?n0X(z)Rx??z?Rx?

3序列乘以指数序列的性质 ○

X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx? y(n)?anx(n)a为常数 Y(z)?ZT[anx(n)]?X(a?1z)aRx??z?aRx?

Rx??z?Rx?

4序列乘以n的ZTX(z)?ZT[x(n)]○

ZT[nx(n)]??zdX(z)dxRx??z?Rx?

Rx??z?Rx?

5复共轭序列的ZTX(z)?ZT[x(n)]○

ZT[x*(n)]?X*(z*)Rx??z?Rx?

6初值定理X(z)?ZT[x(n)] ○

x(0)?limX(z)

z??7终值定理limx(n)?lim(z?1)x(z) ○z??z?18时域卷积定理 ○

设?(n)?x(n)*y(n)

X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx?

18

Y(z)?ZT[y(n)]Rx??z?Rx?

则W(z)?ZT[?(n)]?X(z)Y(z)Rw??z?Rw?

9复卷积定理ZT[x(n)]?X(z)○Rx??z?Rx?

ZT[y(n)]?Y(z)Ry??z?Ry?

?(n)?x(n)y(n) W(z)?2?j?1czd?X(?)Y()??Rx?Ry??z?Rx?Ry?

10○帕斯维尔定理ZT[x(n)]?X(z)Rx??z?Rx?

ZT[y(n)]?Y(z)Ry??z?Ry?Rx?Ry??1，Rx?Ry??1

那么

n????x(n)y(n)?2?j?*?1cX(?)Y*(1??1)?d? *2.4 离散时间系统的系统函数及频率响应 1 系统函数定义（重点）

一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应h(n)来表征，即：y(n)?x(n)?h(n) 对等式两边取Z变换并根据时域卷积定理，有：Y(z)?X(z)H(z)

H(z)?则：

Y(z)X(z) 一般称H(z)为系统的系统函数（系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比），

它表征了系统的复频域特性。 2 系统函数与差分方程的关系

???ay(n?k)??bx(n?k)(给定差分方程，能计算其传输函数，或给定传输函数，能计算得到差

kkk?0k?0分方程。)

3 频率响应（重点）

频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。 频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT：

H(e)?j?n????h[n]e?j?n?H(ej?)ej?H(e?j?)（重点）

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其中， |H(e)| 称为幅频响应，?H(ejω

j?) 称为相频响应。系统的频率响应是以2π为周期的ω的

连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在

区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。

jω

注意：仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H(e)可根据DTFT 与z变换之间的关系简单得到：

X(ej?)?X(z)z?ej? ? H(ej?)?H(z)z?ej?

稳态响应的求解 ( 重点 ) 结论：

对于LTI 系统，如果输入为正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0), 则输出响应y(n)必为相同形式的正弦序列，但需在 ω=ω0的幅频响应|H(e)|进行加权，并通过相频响应?H(ejω

j?)在 ω=ω0的值进行移

位，即：y[n]= |H(e

jω0

)|cos(ω0t+φ0+?H(ej?j?0))

例：假设实序列x[n]的DTFT 记为X(e。 ), 则其幅值X(ej?) 是关于ω的（偶函数）说明：还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率ω偶函数，而相位和虚部则是关于频率ω奇函数。

例：对于一LTI 离散时间系统其频率响应H(e的稳态输出响应y(n) = ( 1.15cos(j?)?1?cos(n), 响应,如果系统输x(n) =

1?0.5e?j?3?3n?0.52) )。

说明：将系统的频率响应写成幅度相位表达式：

H(ej?)?H(ej?)ej?H(ej?)，则输出信号为：

y[n]?H(e)cos(n??H(e3))33j??j?j?H(e)的具体表达式，所以需要分别计算出。这里由于给出了

H(e3)j?3?H(e)之值。 和

j?4 用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性（重点）

M系统函数：H(z)?Y(z)?X(z)?bzi?i?azik?0i?0M（传输函数H(z) 为系统的单位冲激响应h（n）的Z变换。）

?i简答题：怎样在z域表示离散时间LTI 系统? 答案：传输函数H(z)表示离散时间LTI 系统。

1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|x(n)|??，则|y(n)|??

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