点)
2频域抽样法
将长度为N=2的序列x(n)前后对半分开, 其N点DFT可表示为
MX(k)??x(n)Wn?0N?12n?0N?1nkN ??x(n)Wn?0N?12nkNnk ??x(n)WNn?N2N?1??x(n)WN?12nkNn??kN???2?? ??x?n??WN2??n?0N?12?N??N??nk????x(n)?x?n??WNNk/2?WN2??n?0??按k的奇偶可将X(k)分为两部分 k取偶数时
N?12k?0, 1, ?,N?1
?N??2nr?X(2r)???x(n)?x?n???WN2???n?0??N??????x(n)?x?n???WNnr/22???n?0?N?12r?0,1,,N?12
k取奇数时
?N??n(2r?1)?X(2r?1)???x(n)?x?n???WN2???n?0???N??n?nr?????x(n)?x?n???WN?WN/2
2???n?0???N?12N?12r?0,1,,N?1 2?rn?N??X(2r)?x(n)Wx(n)?x(n)?xn?1N/2????12???n?0?令? 得到?
N/2?1?x(n)??x(n)?x?n?N??Wnrn?X(2r?1)?x(n)W2???N?2N/2?2??????n?0?N/2?1??注：DIT—FFT与DIF—FFT比较
DIT 奇偶分组：输入倒，输出顺 计算：先乘后加（减） DIF 前后分组：输入顺，输出倒 计算：先加（减）后乘
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第五章：本章主要掌握IIR和FIR两种滤波器的基本网络结构。
5.1 基本单元结构
一个数字网络可以用差分方程表示，也可以用单位脉冲响应来表示，也可以用系统函数来表示。但是对于研究这个系统的实现方法，即它的运算结构来说，用方框图或信号流图最直接。对于延时、乘以系数以及相加这三种基本运算来说，方框图和信号流图表示法如下图所示。
以二阶数字滤波器y(n)=b1y(n-1)+b2y(n-2)+ax(n)为例，它的方框图和信号流图如下图所示。
一般来说，用方框图表示数字滤波器，结构明显、直观；而用信号流图来表示，则简单、方便。 利用图论中的转置定理，可以把一个信号流图转化为另一个等价的信号流图。
转置定理如果将流图中所有支路方向都颠倒或反向，并交换输入x(n)和输出y(n)，则其特性保持不变，新流图是原流图的转置形式。
例如，上图中流图的转置形式如下图(a)所示，但通常的习惯是将输入x(n)画在流图的左边，而输出画
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在流图的右边，这样得到图(b)所示的转置结构。
5.2 无限长脉冲响应基本网络结构
IIR滤波器具有以下特点：单位脉冲响应h(n)无限长；系统函数H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有极点存在；结构上存在从输出到输入的反馈，即结构是递归型的。 1. 直接型
M对应的系统函数为：H(z)??bzii?0Mi?0?i
1??aiz?i直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，书本讲授的为直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推导，利用到线性移不变系统，交换级联子系统的次序，系统函数不变。
对于直接Ⅱ型，要求能够直接由差分方程或系统函数绘出相应的信号流图，反之亦然。 特点：便于理解，累积误差大，运算速度相对慢。 2．级联型
M对应的系统函数为：H(z)?A?(1?czr?1)
?(1?dzrr?1r?1N?1)把滤波器用若干二阶子网络级联起来构成，每个二阶子网络采用直接Ⅱ型结构来实现。
特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。相对直接型结构，其优点是调整方便，此外，运算累积误差较直接型小。 3．并联型
对应的系统函数为：
H(z)?H1(z)?H2(z)?...?Hk(z)
特点：每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。运算误差不积累。运算速度最高。
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8z3?4z2?11z?2H(z)?531z3?z2?z?448画出直接I型、直接II型的结构流图。 例：已知IIR DF的系统函数为
解：先将H(z)化为z?1的有理式
8?4z?1?11z?2?2z?3H(z)?5311?z?1?z?2?z?3448
直接I型：
直接II型：
1?2z?1?2z?2?z?3H(z)?1?2z?1?z?3例：已知IIR DF的系统函数为画出级联型和并联型的结构流图。
解：级联型
1?2z?1?2z?2?z?3H(z)?1?2z?1?z?3(1?z?1?z?2)?(z?1?z?2＋z?3)?(1?z?1)－(z?1?z?3)(1?z?1?z?2)?z?1(1?z?1＋z?2)?(1?z?1)－z?1(1?z?2)(1?z?1)(1?z?1＋z?2)?(1?z?1)－z?1(1?z?1)(1?z?1)(1?z?1)(1?z?1＋z?2)?(1?z?1)(1?z?1?z?2)
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并联型：
1?2z?1?2z?2?z?3H(z)?1?2z?1?z?31?2z?1?z?3?4z?1?2z?2?1?2z?1?z?34z?1?2z?2?1?1?2z?1?z?3?66?4z?1?1??1?z?11?z?1?z?2
5.3 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR滤波器具有以下特点：单位脉冲响应h(n)有限长；系统函数H(z)在|z|>0处收敛，对因果系统而言，极点全部位于z=0处；结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。 FIR滤波器有以下几种基本结构：直接型；级联型。 1．直接型
N?1n?0 H(z)??h(n)z?n
特点：直观明了，便于理解，但不便于调整参数。 2．级联型
将H（z）因式分解得到
特点：每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭极点，调整零点位置比直接型方便，但H（z）中的系数比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。
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