北京交通大学电磁波教案(4)

??C=az(2x-6y) ?·C=0 ?A﹑B可由一个标量函数的梯度表示； A﹑C可由一个矢量函数的旋度表示。 (2)?A=0, JA=0 ?B=2 rsin? JC=az(2x-6y) 返回 24.证：fA=axfAx+ayfAy+azfAz ?·(fA)=?( fAx)??x+?(fAy)??y+?(fAz)??z =Ax?f??x+ f ?Ax ??x+Ay?f??y+f?Ay ??y+Az?f??z+f?Az ??z =f(?Ax ??x+?Ay ??y+?Az ??z)+( Ax?f??x+ Ay?f??y+ Az?f??z) =f?·A+A·?f 返回 25.证：??A=ax(?Az ??y-?Ay ??z)-ay(?Az ??x-?Ax ??z)+az(?Ay ??x-?Ax ??y) A?H= ax(AyHz-Az Hy)-ay(AxHz-Az Hx)+az(AxHy-Ay Hx) ?·(A?H)= ?(AyHz-Az Hy) ??x-?(AxHz-Az Hx) ??y+?(AxHy-Ay Hx)??z = Hz?Ay ??x+ Ay?Hz ??x-Hy ?Az ??x -Az ? Hy ??x-Hz?Ax ??y-Ax?Hz ??y + Hx?Az ??y+Az? Hx ??y+Hy?Ax ??z+Ax?Hy ??z- Hx?Ay ??z-Ay ? Hx??z =(?Az ??y-?Ay ??z) Hx-(?Az ??x-?Ax ??z) Hy+az(?Ay ??x-?Ax ??y) Hz = -(?Hz ??y-?Hy ??z)Ax+ (?Hz ??x-?Hx ??z) Ay- az(?Hy ??x-?Hx ??y) Az =H·??A- A·??H 返回 26.证：fG=ax fGx+ay fGy+az fGz ??? ??(fG)= ax?? (fGz) ? ?y-?(fGy) ??z ?-ay??(fGz) ??x-?(fGx) ?? z?+az ??(fGy) ??x-?(fGx) ?? y? = ax(Gz?f ? ?y +f?Gz ? ?y-Gy?f ??z - f ?Gy ??z-ay(Gz?f ??x+f?Gz ??x-Gx?f ??z-f?Gx ??z) + az(Gy?f ??x+ f?Gy ??x-Gx?f ??y-f?Gx ??y) =f ?ax(?Gz ??y-?Gy ??z -ay(?Gz ??x-?Gx ??z)+az (?Gy ??x-?Gx ??y)? + ax(Gz?f? ?y-Gy?f ??z)-ay(Gz?f ??x-f?Gx ??z)+az(Gy?f ??x-f?Gx ??y) =f??G+(ax?f??x+ay?f??y+az?f??z) ?G = f??G+?f?G 返回 27.证：(1)取任意表面S设其边界曲线为c，则根据斯托克斯定理，有 ?s??(?u) ·dS=∮c?u·dl 由梯度与方向导数的关系得 du=?u·dl 代入上式得 ?s??(?u) ·dS=∮cdu=0 由于S面是任意取的，???(?u)=0 (2)任取一闭合面S，设其包围的体积为?，则由散度定理有 ?? ?·(??A)d? =∮s??A·dS 现将S分为两部分S1和S2，则其分界线为闭合曲线c。由于S1、S2的方向是S的外法向，按照绕行方向与面积方向应满足右手关系的原则，c在S1上的绕行方向与在S2上的相反。因此，利用斯托克斯定理，有 ∮s??A·dS=∮s1??A·dS+∮s2??A·dS =∮cA·dl-∮cA·dl=0 由于S面是任意取的，因此?也是任意的，所以有 ?·(??A)=0 返回 回到页首>> 第二章 静电场 2.1 两点电荷q1=８Ｃ，位于Z轴上Z=4点，q2=－４Ｃ，位于y轴上y=4点，求(4,0,0)点的电场强度。 答案 2.2 一半径a的圆环，环上均匀分布电荷，密度为ρlC/m，求轴线上任一点的电场。答案 2.3 将上题中的圆环改为半圆环，电荷密度为ρlC/m，求圆心处的电场。答案 2.4 三根长度均为L，均匀电荷线密度分别为ρl1, ρρl1=2ρl2=2ρl3，计算三角形中心处的电场。答案 l2和ρl3的线电荷构成等边三角形。设2.5 半径a的球中充满密度ρ(r)的电荷，已知电场为 Er= 求电荷密度ρ(r)。答案 2.6 电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为ρC/m3，两圆柱半径分别为ａ及ｂ,轴线相距C且ａ＋ｃ<ｂ，如图所示。求空间各部分的电场强度。答案 2.7 长度为L的线电荷带有均匀电荷密度ρl, (1)计算线电荷平分线上的Ф； (2)由库仑定律直接计算平分面上的E,并用－?Ф核对。答案 2.8 计算在电场E=axy＋ayx中把－２μC的电荷从(2,1,-1)移到(8,2,-1)所做的功: (1)沿曲线ｘ=２y2； (2)沿连接该两点的直线。答案 2.9 卢瑟福在1911年采用的电子模型是半径的球体积中均匀分布总电量为－Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze，其中Z是原子序数，e是质子电量，他得到的原子内电场和电位的表示式为 E=ar 试证明之。答案 2.10 计算一个均匀分布电荷的圆盘轴线上任一点的电场强度，圆盘半径为ａ，电荷密度为ρS C/m3。答案 2.11 一半径b的球充满密度为ρ=b2－r2的电荷。计算球内和球外任一点的电场强度和电位。答案 2.12 一半径ａ的薄导体球壳在起内表面涂覆了一薄的绝缘膜.球内充总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量Q。已知内部的电场为 E=ar(r/a)4 计算(1)球内电荷分布；(2)球的外表面电荷分布；(3)球壳的电位；(4)球心的电位。答案 2.13 两个无限长的ｒ=ａ和ｒ=ｂ（ｂ>ａ）的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度ρ(1)计算各处的E； (2)欲使ｒ>ｂ处E=０，则ρS1和ρS2应具有什么关系？答案 S1 和ρS2，2.14 电场中有一半径为ａ的圆柱体，已知圆柱内外的电位为 ?=0 (r?a) ?=A(r-a2 /r)cos? (r?a) (1)求圆柱内外的电场强度； (2)这个圆柱是什么材料制成？表面有电荷吗?试求之。答案 2.15 验证下列标量函数在它们各自坐标中满足拉普拉斯方程： (1) sinkxsinlye-kz，其中h2=k2+l2 (2) rn(cosn?+Asinn?) (圆柱坐标) (3) r-n cosn? (圆柱坐标)