北京交通大学电磁波教案(7)

??1=b4? 15?0-b2r2?6?0+r4? 20?0 r ? b ?2=2b5?15?0r r ? b E1= -??1= -ar ??1 ? ? r =ar(b2r? 3?0-r3? 5?0 r ? b E2= -??2= -ar ??2 ? ? r= ar 2b5?15?0r2 r ? b 返回 2.17解：?=0的空间电位解须满足?2?=0 (1) ?2?=?2???x2+?2???y2+?2???z2 =e- ychx+ e- ychx=2 e- ychx?0 ?不是 (2)?2?=?2???x2+?2???y2+?2???z2 = -e- ycosx+ e- ycosx=0 ?是 (3)?2?=?2???x2+?2???y2+?2???z2 = ?2(0.5sin2x) ? ?x2+0.5sin2x ?2 ? ?y2 = -2 sin2x+ sin2x= - sin2x?0 ?不是 (4)?2?=?2???x2+?2???y2+?2???z2 = -3sinx siny sinz?0 ?不是 返回 2.18解：极板上电位满足?2?= -? ? ?0 ??2???x2= -?0x ? s?0 ????x= -?0x2 ? 2s?0+c1 ? = -?0x 3? 6s?0+c1x+c2 代入边界条件x=0，?=0，得c2=0 x=s，?=v0，得c1=v0?s+?0s ? 6?0 ??= -?0x 3? 6s?0+(v0?s+?0s ? 6?0)x E= ??? =ax(?0x 2? 2s?0- v0? s-?0s ? 6?0) 在x=0极板上，?s1=?0 E? ax? x=0= -?0v0 ? s-?0s ? 6 在x=s 极板上，?s2=?0 E? (-ax)? x=s=?0v0 ? s-?0s ? 3 返回 2.19解：电偶极子的电位为?=qlcos?? 4??0r3 其中cos?= z?rs， rs2= rc2+z2 ??可用柱坐标表示为 ?=qlz? 4??0 (rc2+z2)3?2 Ez= -????z= -ql(rs2-3z2)? 4??0rs5=0 ? z2?rs2= 1?3=cos2? cos?=?1? ??0.5773 ??1=54.7? ， ?2=125.3? 返回 2.20证：在均匀电场E0中电偶极子的两个等值反号的电荷所受到的力大小相等，方向相反， 但不在同一直线上，其力矩为 T=0.5l?F+-0.5l?F-=0.5l?qE0-0.5l?(-q)E0 =q l?E0= p?E0 返回 2.21解：p1的电场为 E1=?3(p1?r)r? r5-p1 ? r3? ?4??0 p1,p2之间的相互作用能为 We= -E1?p2=-E2?p1 =? p1?p2 ? r3-3(p1?r)(p2?r) ? r5 ? ?4??0 用静电虚位移法求相互作用力 F2=F1= -?We ? ? r =?3(p2?r) p1 ? r5+3(p1?r) p2 ? r5-15(p1?r)(p2?r) ? r5 返回 2.22证：偶极子的电场为 E=ar + a? W=?∫??0E2d?? ?0 (4cos2?+sin2?)r2sin?drd?d? = 返回 2.23解：(1)?p= -??P= -3P0 ?ps= P?n?s=L P0? 2 (2)Qp=∫??pd??? 3P0L3 Qps=∫s?psds?? P0L3 ?Qp总= Qp+ Qps=0 返回 2.24解：设极化强度P =azP，则空腔内表面的束缚电荷密度为 ?ps= P?n?r=a=azP ?(-ar) = -Pcos? E= = cos?(axsin?cos?+aysin?sin?+azcos?)a2sin?d?d? = 返回 az2? a2cos2?sin?d?d?=P?2?0(-1?3 cos3?)? = P?3?0 2.25证：r?a ∮sD1·dS=???d? D14?r2=?4?r3?3 D1 =?r?3=?0?rE1 E1= ar r?a ∮sD2·dS=???d? D24?r2=?4?R3?3 D2 =?R3?3r2=?0E2 E2= ar r=a ?0= E1?dr+ E2?dr = + dr= ?????r2 返回 2.26解：(1) ?p= -??P= - ?ps= P?ar?r=R=K?R (2) r?R D1=P+?0E1=?0?rE1 E1=P??0(?r-1)= ar D1= ?0?rE1= ar ?=??D1= (3)r?R ∮sE2·dS=???d???0 = E24?r2= 4?r2dr E2= ar ?2= E2?dr= (r?R) ?1= E1?dr+?2(R)= dr+?2(R) = + (r?R) 返回 2.27证：对于不均匀电介质,?e不是常数，而是坐标的函数，因此，?=?0(1+?e)也是坐标的函数 D=?E=P+?0E P=D-?0E=(1-?0??)D ?p= -??P= -???(1-?0??)D ? = -? (1-?0??)?D - (1-?0??)?? D