(4) rcos?，r-2 cos? (球坐标) 答案 2.16 用求解电位的微分方程的方法重解2.11题。答案 2.17 已知的空间中没有电荷，下列几个函数哪些是可能的电位的解？ (1) e-ychx (2) e-ycosx (3) e-?2ycosx sinx (4) sinx siny sinz 答案 2.18 两无限大平行板电极,距离ｓ，电位分别为０和V0V，板间充满密度为?0x? s的电荷，求电位分布和极板上的电荷面密度。答案 2.19 ?为何值时z方向的电偶极子的电场没有z分量? 答案 2.20 一个电偶极子p放置于均匀电场E0中，证明作用于电偶极子的力矩为T=p? E0；如果电偶极子是处于不均匀的电场中E，则它还要受到一个力F=(p??)E，而围绕任意原点的力矩为r?((p??)E+p? E。试证明之。答案 2.21 偶极矩为p1和p2的两个电偶极子相距为ｒ，求这两个偶极子之间的相互作用能和相互作用力。答案 2.22 考虑一个以偶极子ｐ为球心半径为ａ的假想球面。证明球面外的总能量是 W=p2? (12???a3) 答案 2.23在中心位于原点，边长为L的电介质立方体内极化强度矢量为P=P0(axx+ayy+azz) (1)计算面和体束缚电荷密度； (2)证明总束缚电荷为零。 答案 2.24 计算一个小球形空腔中心处的电场强度，此空腔是从一大块其中存在极化强度P的电介质挖空的。答案 2.25 一个半径R的介质球，含有均匀分布的自由电荷，证明中心点的电位是 答案 2.26 一个半径R的介质球内极化强度为P=arK? r，其中K是一常数， (1)计算束缚电荷的体密度和面密度； (2)计算自由电荷密度； (3)计算球内外的电位分布。答案 2.27 证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能有束缚电荷体密度； (2)导出束缚电荷密度?p的表示式。 答案 2.28 两电介质的分界面为ｚ=０平面。已知?r1=2和?r2=3，如果已知区域１中的 E1=ax2y-ay3x+az(5+z) 我们能求出区域2中哪些地方的E2和D2呢？能求出2 中任意点的E2, D2吗？答案 2.29 电场中有一半径的介质(?)球，已知 ?1=E0rcos? + a3E0 (r≥a) ?2=- E0rcos? (r≤a) 验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。答案 2.30 平行板电容器的长宽为ａ和ｂ，板间距离为ｄ。电容器的一半厚度(0~d/2)用电介质 填充。板上外加电压U，求板上的自由电荷密度,极化电荷密度和电容器的电容量。答案 2.31 厚度为ｔ的无限大介质板(电容率?)，放置于均匀电场E0中，板与E0成角??，求使??=???时的??的值。求板的两表面的束缚电荷密度。答案 2.32 在电容率?的无限大均匀介质中，开有如下几个空腔，求各空腔中的E和D： (1)平行于E的针形空腔； (2)底面垂直于E的薄盘形空腔。答案 2.33 在面积为S的平行板电容器中填充电容率作线性变化的介质，从一极板（ｙ=０）处的?1一直变化到另一极板(y=d)处的?2，求电容量。答案 2.34 圆柱形电容器外导体内半径为ｂ，当外加电压固定时，求使电容器中的电场强度取最小值的内导体半径ａ的值和这个Emin的值。答案 2.35 同轴电容器内导体半径为ａ，外导体内半径为ｃ，在部分填充电容率为的电介质。求单位长度的电容。答案 2.36 平行板电容器板间距离为ｄ，面积为S，在它的极板间放进一块面积S，厚度ｔ的介质板(相对电容率?r)，求电容量。答案 2.37 有一半径a带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面可视为无限大平面。求(1)球的电容；(2)总静电能。答案 2.38 把一电量为q，半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。答案 2.39 两平行的金属板, 板间距离为d,竖直地插在电容率为?的液体中，板间加电压U，证明液面升高 h= (?-?0)( )2 ｍ为液体的质量密度。答案 2.40 可变空气电容器，当动片由00至1800旋转时，电容量由25pF至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩，设在动片与静片间电压为方便用户400V。答案 2.41 证明：同轴线单位长度的静电储能等于ql2/（2C0）。答案 2.42 如果不引入电位，静电场问题也可以通过直接求解E的微分方程而得到解决， （１） 证明：有源和无源区域内的E的微分方程分别是 ?2E=??t ??0 ， ?t =?+?P 和?2E=0 （２） 证明：E的解是 E= - 答案 第二章 静电场 习题解答 2.1解：点电荷的电场E=QaR?4??0R2 q1在场点产生E1= aR1=(ax-az) ? 16 ??0 q2在场点产生E2= aR2=(-ax+ay) ? 32 ??0 ?E=E1+E2=(ax+ay-2az) ? 32 ??0 V? m 返回 2.2解：由环的轴对称性可知E只有z分量，即 Ez=Ecos?=E z? R=E z? dq=?ldl=?lad?
Ez= = d? = 返回 2.3解：设关于半圆环对称的轴线为x轴，则半圆环在圆心处只有Ex分量 E=axEsin?=ax 2.4解：返回 d?=ax V?m 返回 2.5解：?(r)=?0??E=?0? r2 ? (r2Er) ? ?r=?0(5r2+4Ar) (r?a) 返回 2.6解：各区域场强可看作是充满?的大柱和充满-?的小柱的场的迭加。 由高斯定律∮D·dS=???d?可得柱内外的场强 大柱：r1?b ?0Eb12?r1l=??r12l Eb1=?r1 ? 2?0 r1?b ?0Eb22?r1l=??b2l Eb2=?b2r1 ? 2?0r12 小柱：r2?a Ea1=-?r2 ? 2?0 r2?a Ea2=-?a2r2 ? 2?0r22 于是可得各区域场强： 空腔内： E= Ea1+ Eb1= (r1- r2)? ? 2?0=c? ? 2?0 两柱之间：E= Ea2+ Eb1=(r1- r2a2?r22)? ? 2?0 大柱外： E= Ea2+ Eb2=(r1b2?r22- r2a2?r22)? ? 2?0 返回 2.7解：（1）取无穷远处ф=0，则 ?= = = (2)由直线L对其平分面的对称性可知，在该平面上E只有Er分量 dEr=dEsin? sin?=r? R= Er= = = ???= -ar??? ?r =