其中??为标准正态分布的上侧分位数。
由此可见蒙特卡罗模拟方法的误差?只与标准差?和样本容量N有关，而与样本中元素所在空间无关，即蒙特卡罗模拟方法的收敛速度和问题的维数无关，而其他的数值方法则不然。
（3）蒙特卡罗方法适用性很强，所受问题的限制性很小。 例如s维空间的任一区域上的积分为
I?D???g(xS1,x2,?,xs)dx1dx2?dxs
无论的DS形状如何，都可以用平均值的方法给出I的近似估计值：
I?DSNN?g(xi?1(i)1,x(i)2,?,xS)
(i)其中点(x1(i),x2(i),?,xS(i))为DS上的随机样本点。但是其他数值方法受问题的限制性影响比较大。
（4）能够逼真地描述具有随机性质事物的特点及其物理实验过程。从这个意义上来讲，蒙特卡罗模拟方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到许多物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗模拟方法解决问题，可以直接从实际问题本身出发，而不是单纯从方程或数学表达式出发，因而具有直观、形象的特点。
（5）误差容易确定。对于一般的计算方法，要给出计算结果和其真实值之间的误差并不是一件容易事，而蒙特卡罗模拟方法则不然。根据蒙特卡罗模拟方法的误差公式，可以在计算所求结果的同时计算出误差。对于很复杂的蒙特卡罗模拟方法的问题，误差也是容易确定的。
当然，蒙特卡罗模拟方法并不是完美的，它也有其缺陷的地方：
（1）收敛速度慢。如前所述，蒙特卡罗模拟的收敛速度为O(n?1/2)，一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于维数比较少（三维以下）的问题，不如其他方法好。
（2）误差具有概率化。由于蒙特卡罗模拟方法的误差是在一定的置信水平下估计得到的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。
（3）在期权定价模型中不适用于美式期权定价的模拟计算。
因此，在使用蒙特卡罗模拟方法时，可以考虑与其他解析方法相结合，取长补短，这样可以发挥蒙特卡罗模拟方法的特长，使其应用范围更广。
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4. Black-Scholes期权定价模型 4.1预备知识
通常假设股票价格遵循马尔科夫过程（Markov Process），在这个特殊的过程中，只有变量的当前值与未来预测值有关，变量的过去值和变量从过去到现在的运动方式与未来预测不相关。马尔可夫性质隐含了在将来任一特定时刻股价的概率分布仅仅取决于股票当前的价格。股价的马尔可夫性质与弱型市场有效性（The weak form of market efficiency）相一致，即认为股票的现价已经完全反映了标的股票本身的历史信息，包括历史价格、收益率、交易量等。这意味着过去的收益率和其他市场数据与将来的收益率无关（收益率没有自相关性）。因此，投资者如果使用过去的收益率或以前的市场数据进行投资是不会获利的。维纳过程（Wiener process）是马尔可夫过程的一种特殊形式，有时也成为布朗运动（Brownian motion）。
4.1.1标准布朗运动
设z遵循标准布朗运动，?t表示一个小的时间间隔，?z表示变量在?t时间内的变化。则?z必须满足两个基本性质：
（1）?z与?t的关系满足：
?z???t
其中?服从标准正态分布，即?~N(0,1)。
（2）对于任何两个时间间隔?t，?z的值相互独立。 在一个相对较长的时间间隔T内，z值的增量为
Nz(T)?z(0)=??ii?1?t
其中N?T?t，?i~N(0,1),i?1,2,?,N。根据性质（2）知?i相互独立i?1,2,?,N所以z(T)?z(0)服从正态分布，其中
NE[z(T)?z(0)]?0，D[z(T)?z(0)]???ti?1?N?t?T
所以，在任何时间间隔T内，遵循标准布朗运动的变量值的增量服从均值为0，标准差为T的正态分布。
当?t?0时，得到极限的标准布朗运动：
dz??dt，?~N(0,1)
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4.1.2普通布朗运动
漂移率（Drift rate）表示变量单位时间内的平均变化值，方差率（Variance rate）表示变量单位时间的方差。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
设变量x服从普通布朗运动，则
dx?adt?bdz
其中a,b为常数，z服从标准布朗运动。第一项adt为确定项，它意味着变量x漂移率的期望值为a，第二项bdz为随机项，它表示对x轨迹上的噪声或波动率，其值为标准布朗运动的b倍。
普通布朗运动的离散形式为：
?x?a?t?b?z?a?t?b??t
由于?~N(0,1)，易知?x~N(a?t,b2?t)，所以在一段时间间隔T内，遵循普通布朗运动的变量值的增量也服从正态分布，并且漂移率的期望值为a2，方差率为
b2。
4.1.3伊藤过程（Ito process）
若将参数a和b改为是变量x和t的函数，则得到伊藤过程的数学公式：
dx?a(x,t)dt?b(x,t)dz
Ito过程中的期望漂移率和方差率随着时间的变化而变化。
在研究股票价格变化的过程中，我们应该找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述股票价格的变动过程，同时还要实现数学处理上的简单性。一个合理的假设就是股票价格S可以用瞬时期望漂移率（instantaneous expected rate）为?S，瞬时方差率（instantaneous variance rate）为?2S2的Ito过程来表示，其表达式为：
dS??Sdt??SdzdSS??dt??dz
该过程又称为几何布朗运动（Geometric Brownian motion），其中?表示股票在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），?表示股票收益率瞬间的标准方差，简称为股票价格的波动率（Volatility），并且?和?的度量单位均为年，变量z服从标准布朗运动。
几何布朗运动的离散形式：
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?SS???t???z???t????t
方程左边是在?t时间间隔后股票价格的收益比，右边中的??t是这一收益比的期望值，而???t是收益的随机部分。并且可以发现在?t时间间隔内， 值为??t，方差?2?t为正态分布，即
4.1.4伊藤定理
假设变量x遵循Ito过程：
dx?a(x,t)dt?b(x,t)dz?SS~N(??t,??t)。
2?SS服从均
变量G是x和t的函数，即G?G(x,t)，则
dG?(?G?xa??G?t?1?G2?x22b)dt?2?G?xbdz
由此可知G也遵循Ito过程，其漂移率为：
?G?xa??G?t?1?G2?x22b
2方差率为：
(?G?x)b
22由于股票的价格S服从的方程为:
dS??Sdt??Sdz
所以S和t的函数G(s,t)遵循的方程是：
dG?(?G?S?G?S?1S?S??G?t2?1?G2?S1S12222?S)dt??G?t22?G?S?Sdz
令G?InS，则
，
?G?S2??，
?0，所以
dInS?(???)dt??dz
12因此股票价格对数也遵循漂移率为???2，方差率为?2的布朗运动。根据前面
2InS的增量也服从正态分布，推论知在时间t到T的间隔内，均值为(???2)(T?t)，
12方差为?2(T?t)，即InS
T?InSt~N[(??12?)(T?t),?(T?t)]，进一步可以推出
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InST~N[InSt?(??12?)(T?t),?(T?t)]，这意味着股票价格的对数服从正态分
22布，则股票价格服从对数正态分布。另外dInS实际上就是连续复利的对数收益率，因此几何布朗运动意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化量服从正态分布，这比较符合现实情况，说明几何布朗运动很好地描述了股票价格的运动过程。
4.2 Black-Scholes微分方程的推导 Black-Scholes微分方程的假设：
（1）股票价格遵循?和?为常数的随机模型； （2）允许使用全部所得卖空衍生证券；
（3）没有交易费用和税收的，所有证券高度可分； （4）在衍生证券的有效期内没有红利支付； （5）不存在无风险套利； （6）证券交易是连续的； （7）无风险利率r为常数。
假设股票的价格S遵循几何布朗运动：
dS??Sdt??Sdz
假设f是基于股票的某个看涨期权的价格，则f是S和t的函数，根据伊藤定理有：
df?(?f?S?S??f?t?1?f2?S22?S)dt?22?f?S?Sdz
将上述两个方程离散化得到标的股票价格和期权价格满足方程分别为：
?S??S?t??S?z
?f?S?f?(?f?S?S??f?t?1?f2?S22?S)?t?22?S?z
从上面的方程可以发现期权的价格和标的股票价格都受遵循相同维纳过程?z的影响，如果建立一个包含期权头寸和标的股票头寸的资产组合就有可能消除维纳过程，那么标的股票与期权的盈亏就可以相互抵消，从而构造一个无风险的资产组合。
假设证券组合持有者卖空一份期权并买入数量为价值为?，则
?f?S的股票，得到的组合证券的
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