但是上式中的W为隐含解，不容易直接求解，并且利用稀释效应的公式所得到的结果往往比实际值偏小。
5.2数据说明
本篇论文选取认股权证阿胶EJC1（031007）,其标的资产为东阿阿胶（000423），该权证上市日期为2008年7月18号，行权日期为2009年7月17号，行权比例为1：1，最新的行权价格为5.43元。
表3 关于认股权证阿胶EJC1的信息
标的证券 权证代码 初试行权价（元） 最新行权价（元） 存续起始 上市总数（万） 上市地点 行权日 东阿阿胶 031007 5.50 5.43 2008-7-18 13094.09 深圳证券交易所 2009年7月13日 至2009年7月17日 资料来源：“华安证券钱龙金典版软件”中的资料信息
标的证券代码 行权方式 初试行权比例 最新行权比例 存续终止 上市时间 发送方式 权证性质 000423 欧式 1：1 1：1 2009-7-17 2008-7-18 派送 股本权证
一般来说数据越多，获得的结果的精度越高。但是，随着时间的变化，太过于久远的历史数据的作用可能不太大。国内外的许多文献通常选取的时间是120-180天的股票收盘价来计算波动率。故在选取的东阿阿胶从2008年7月9日到2009年5月8日的日收盘价中，采取2009年1月5日到2008年12月31号的日收盘价作为历史数据，用来计算股票价格的波动率?。选取的认股权证阿胶EJC1从2008年7月18日到2009年5月8日的日收盘价作为同蒙特卡罗模拟定价计算得到的结果进行比较分析。
关于无风险利率r，国外文献经常选取与认股权证存续期相对应的国债利率，因为只有国债是相对无风险的，因而存款率因存款机构的风险性较大而不能作为选取的对象。我国的银行因为在国家经济中的特殊地位，稳定性比较高，因此通常选取一年期的银行存款利率为无风险利率。本文中选取2009年的一年期银行固定存款利率3.43%为无风险利率r。
18
5.3数据分析
在Black-Scholes定价公式中不能直接观察的参数股价的波动率?。假设Si是第i天的股票收盘价，共观察n?1天，令
ui?InSi?1iS，i?1,2,?,n
对数收益率ui的标准差为：
s?1nn1n?1(ui?u)
2其中u??u。
ii?1于是我们得到股票日波动率，再将其转化为年波动率。假设一年有250个交易日，则股票价格的年波动率为??s250。我们选取东阿阿胶从2008年7月9日到2008年12月31日的日收盘价作为历史数据来计算，得到波动率为??24.83%。
利用Matlab软件编程模拟计算认股权证阿胶EJC1从2009年1月5号到2009年5月7号的权证价格，并与真实价格进行比较得到表格如下：
表4 权证实际价格同MC模拟价格的比较
权证价格 8.97 9.27 9.94 9.92 9.91 10.02 9.63 9.95 10.26 10.16 10.2 10.31 10.25 10.23 10.02 10.26 10.42 10.51 10.96
MC模拟价格 8.5575 8.6366 9.5397 9.6126 9.6886 9.8729 9.4137 9.9797 10.1813 9.9254 9.4981 9.6533 9.5004 9.6068 9.3765 9.8785 10.45 10.6564 10.9317 权证价格 12.54 12.47 12.87 13.06 12.08 12.07 11.1 10.83 11.13 11.82 11.79 11.6 11 11.26 11.6 11.56 11.66 11.8 12.24 MC模拟价格 11.7128 11.7918 12.4254 12.8659 11.6884 11.5401 10.4858 10.2812 10.6092 11.328 11.3804 11.2009 10.2969 10.8522 10.9343 11.0447 10.6454 10.8229 11.2975 19
权证价格 12.21 12.69 12.62 12.89 12.52 12.57 12 12.17 12.36 12.42 12.42 12.55 12.42 12.4 12.78 12.63 11.99 12.03 11.94 MC模拟价格 11.1466 11.7421 11.7706 12.4091 11.9276 11.928 11.1649 11.5221 11.9237 11.8248 11.778 12.2821 12.1877 12.2806 12.6697 12.4921 11.7743 11.6646 11.8037 11.13 11.38 11.47 12.16 13.13 13.52 13.52 12.98 11.2865 11.4095 11.3155 11.8416 12.8836 13.0312 12.852 12.523 12.31 12.75 12.56 12.63 12.55 11.99 12.19 12.17 11.1191 11.6454 11.6231 11.6455 11.7045 10.7223 11.125 11.0815 11.85 13.28 12.81 12.8 13.09 13.19 13.06 12.8 11.5171 12.3994 12.0034 12.1863 12.349 12.7564 12.7965 12.3686 资料来源：实际价格来自雅虎财经网站（http://www.yahoo.com.cn）
我们用Matlab画出实际认股权证的价格同用蒙特卡罗模拟计算的价格对比图，发现模拟的结果比实际值要偏小。这可能是由于模型中的参数不准确或者假设中的参数，比如说标的股票的波动率?，为常数与实际情况不太符合的缘故。
141312认股权证价格11109实际价格MC模拟价格01020304050时间(天)607080908
图1 实际价格和MC模拟价格的对比图
5.3对比分析
将利用Black-Scholes定价公式计算的精确值和实际价格对比分析，并画出其对比图。
20
141312认股权证价格11109实际价格BS计算价格01020304050时间(天)607080908
图2 BS公式计算结果和实际价格的对比图
由此可见利用Black-Scholes计算得到结果同蒙特卡罗模拟计算的结果基本一致。这一点不难理解，因为蒙特卡罗模拟的推导过程利用的公式来自Black-Scholes定价公式的结果，只是蒙特卡罗模拟方法将其离散化后再经行路径模拟得到的。但是利用蒙特卡罗模拟方法比Black-Scholes定价公式更加接近实际值。若用平均偏离度来衡量定价的有效性：
nATD??i?1Pi?PiMPiM
其中Pi为第i时期的权证实际价格，可以计算得到B-SPiM为第i时期的理论定价值。公式的平均偏离度为3.69，而蒙特卡罗模拟方法为3.64。
容易发现利用Black-Scholes定价模型得到的结果同样比实际值小，而改进过的Black-Scholes定价模型，即考虑“稀释效应”，最终得到的结果当然也比实际值小。因此，考虑“稀释效应”的定价公式是否有其价值还有待实践的证明，这也是学术界一直在讨论但仍未有结论的命题①。
5.4方差削减
①侯迎春：认股权证定价模型和方法及在我国的应用研究，对外经济贸易大学硕士论文，2007。
21
蒙特卡罗模拟的精度与模拟次数密切相关，模拟次数越多其精度越高，但是随之而来会增加计算量，延长运算时间。实验表明减少模拟方差可以减少模拟运算的时间，提高其稳定性。对偶变量（Antithetic Variable）技术是最常见和最简单的方差削减技术。在权证定价的蒙特卡罗模型中Zi是从标准正态分布抽出的一个样本，得到n个权证价格的模拟值Pi，则蒙特卡罗模拟值为P?~^1nn?Pi?1i。构造对偶变量
Z~i??Zi(i?1,2?,n)1nn~。显然Z~i也服从标准正态分布，由此生成的模拟值
P??P。取P和P平均值作为新的估计值：
ii?1^~PAV?12^~(P?P)?12nn?(Pi?1^i?Pi)
~由于D(Pi)?D(Pi)，故有：
^~^~D(Pi?Pi2^)?~12[D(Pi)?cov(Pi,Pi)]
^^~显然如果cov(Pi,Pi)?0，就有D(^~Pi?Pi2)?12而前者在一般条件下是成立的，D(Pi)，
^所以对偶变量法通常有效。采用对偶变量法可以在提高模拟次数从而提高模拟精度的同时也可以节省大量的计算机运行时间。在其他参数相同、模拟次数相同的情况下，选取东阿阿胶2009年5月8日的价格18.11（元），阿胶EJC1在2009年5月8日的价格为13.15（元）。由标准的Monte Carlo方法和对偶变量法的Monte Carlo模拟方法（MCAV）得到的认股权证的价格进行对比如下：
表5 MC模拟和MCAV模拟的对比 方法 MC模拟 MCAV模拟 模拟次数 1000 1000 期权价格 12.8256 12.7701 置信水平 95% 95% 标准差 3.2528 0.4224 置信区间 (12.6240,13.0272) (12.7439,12.7962) 根据上表不难发现，虽然标准的蒙特卡罗模拟得到的最终价格比采用对偶变量法的蒙特卡罗模拟得到结果更接近实际值，但是这可能是由于原本参数的不合理所致。另一方面，MCAV模拟得到的估计值的标准差更小，在95%的置信水平下，其置信区间的长度相应的也更小。这说明采用对偶变量法的蒙特卡罗模拟方法比标准的更加
22