???f??f?SS
在?t时间后，证券组合的价值变化为：
?????f??f?S?S
将?S和?f满足的方程带入得到：
???(??f?t?1?f2?S2222?S)?t
由于上述方程中没有?z，则在?t时间后证券组合?必是无风险的，因此该证券组合的短期收益率为无风险收益率r，否则存在无风险套利现象，即
???r??t
代入相应方程可得：
?f?t?1?f2?S22?S22?rS?f?S?rf
这就是Black-Scholes微分方程，对于标的证券为S的所有衍生证券的定价都适用，但是求解很复杂。要得到特定的衍生证券的价格取决于使用的边界条件。
对于欧式看涨期权，边界条件为：
f?max(ST?k,0)，当t?T时
对于欧式看跌期权，边界条件为：
f?max(k?ST,0)，当t?T时
仔细观察Black-Scholes微分方程可以发现：衍生证券的价值决定公式中的变量为当前标的证券的市场价格S，时间t，证券价格的波动率?和无风险利率r，均独立与投资者的风险收益偏好，都是客观变量，而受制于主观风险偏好的标的证券的预期收益率?并没有包括在该公式中。于是我们可以做出一个关键性的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在一个所有投资者都是风险中性的世界里，由于投资者都不要求任何的风险补偿，那么所有证券的期望收益率均为无风险利率，因而在无风险中性的世界里，将其期望值用无风险利率贴现可以获得任何现金流的现值。这大大简化了衍生证券的定价分析，而在风险中性假设下得到的结论同样适用于现实世界。
4.3 Black-Scholes期权定价公式
在风险中性条件下，欧式看涨期权到期日的期望价值为：
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E[max(ST?K,0)]
^其中E表示风险中性条件下的期望值。再根据风险中性定价，以无风险利率r贴现的欧式看涨期权的价格C为：
C?e?r(T?t)^E[max(ST?K,0)]
T^在风险中性的世界里证券的期望收益率?为r，InSInST服从正态分布，即
~N[InSt?(r??22)(T?t),?(T?t)]
2因此，通过积分可得到欧式看涨期权的价格公式为：
C?St?(d1)?Ke?r(T?t)?(d2)
其中：
In(St/K)?(r?d1??22)(T?t)?T?t
In(St/K)?(r?d2?2?2)(T?t)?d1??T?t
①
?T?t?(x)是标准正态分布的累积概率分布函数。
5.利用蒙特卡罗方法为认股权证定价 5.1模拟定价公式
认股权证定价的蒙特卡罗方法的理论前提是风险中性原理：在风险中性测度下，权证价格能够表示为其期望值的现值，即：
^C?E[e?r(T?t)?f(ST)]?e?r(T?t)E[f(ST)]
^其中C是认股权证价格，r是无风险利率，T为到期日，f(ST)是到期回报关于资产价格路径的函数，E表示在风险中性测度下的期望。
根据蒙特卡罗模拟原理有：
^^E[f(ST)]?1NN?fi?1(ST)
(i)其中ST(i)是从ST的概率密度函数中任意抽取的样本。根据前面的推论过程可知，欧
①李亚妮：蒙特卡罗方法及其在期权定价中的应用，陕西师范大学硕士论文，2007。
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式看涨期权的价格ST服从对数正态分布g(ST)，其中
???g(x)??????e0(Inx??1)2?12212??1xx?0x?0
上式中?1?InSt?(r??22)(T?t)，?1??(T?t)。则利用蒙特卡罗模拟方法计算
22认股权证价格的步骤是：
（1）从概率密度为g(x)的分布中任意抽取一个样本值ST； （2）然后再计算f(ST)?max(ST?K,0)；
（3）依此重复充分大的次数N后，计算样本的平均值及其标准差； （4）最后得到期望值和概率化误差。
其中要得到g(x)的分布中的任一样本值，可以用Matlab直接编程计算生成，但是这种方法比较复杂，一般情况下可以直接从正态分布中随机抽取样本。
假设标的资产的价格服从风险中性的几何布朗运动，即
dSt??Stdt??StdWt
其中?为股票的期望收益率即r，?为股票价格的波动率，Wt服从标准维纳过程。
根据Ito（伊藤）定理有：
d(InSt)?(r??22)dt??dWt
将其过程离散化：
InSt??t?InSt?(r??222)?t??Z?t
St??t?St?exp[(r??2)?t??Z?t]
假设一年中有N个交易日，Sj表示第j个交易日的股票收盘价，标的股票的初始价格为S0，那么?t?1N，假设
X?(r??2j2)/N??NZj
。设认股权证交易日为m其中Zj是从标准正态分布抽出的一个样本，即Z
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j~N(0,1)天，那么可以构造出一个具有m个收盘价的序列：
S1?S0eS1,S2,?,SmX1,S2?S1eX2,?,Sm?Sm?1eXm
即为标的股票价格路径的一次蒙特卡罗模拟值，其模拟步骤为：
Zj?Xj?Sj
一般地，可以取T?t??t，则有
ST?St?exp[(r??22)?t??Z?t]
设ST(i)是第i次模拟计算得到的价格，Ci是第i次得到的认购权这个到期回报贴现，则经过n次模拟得到认股权证价格的估计量为:
C?1nn?Ci?1i?1nn?ei?1?r(T?t)?max(ST(i)?K,0)
因此，利用蒙特卡罗方法为认股权证定价的步骤： （1）在风险中性条件模拟资产价格的路径；
（2）求出该路径下资产的到期回报，并利用无风险利率计算贴现值； （3）重复以上步骤多次，得到大量的权证价格样本； （4）计算样本均值，得到蒙特卡罗模拟的权证价格。
经典的Black-Scholes微分方程没有考虑到股票的稀释效应，对其中的某些变量作出调整后，Black-Scholes微分方程可以对某公司发行的本公司的股票欧式期权进行定价分析。
假设某公司拥有N股发行在外的流通股票和M份流通的欧式认股权证，而每份认股权证可使其持有者在T时刻以每股X的执行价格购买?股股票。若在T时刻该公司的总价值为VT(包括认股权证的价值)，认股权证持有者执行了认股权证，由于执行价格为M?X，该公司获得一笔现金流收入，公司的价值增长到VT?M?X，而股票总数也增加到N?M?，所以在认股权证执行后的瞬间，股票价格变为：
VT?M?XN?M?
因此，每份认股权证持有者的盈利为：
?(VT?M?XN?M??X)?V(T?X)
N?M?NN?由于认股权证只有在正时才会被执行，所以实际上每份认股权证持有者的盈利
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为：
max[VVN?(T?X),0]?max(T?X,0)
N?M?NN?M?NN?所以认股权证的价值是
N?N?M?份基于
VTN的常规看涨期权的价值。而公司的价
值VT的值可以有以下公式计算：
VT?NST?MW
VTN?ST?MNW
其中S是股票的价格，W为认股权证的价格。因此，考虑股票稀释效应的Black-Scholes认股权证定价公式为：
W?N?N?M?e?r(T?t)^E[max(ST?MNW?X,0)]
并且波动率为公司权益的波动率(即股票和认股权证的总价值的收益率)。由上式知道公司的权益本身就是权证价格的函数，因此公司价值VT和?都是不可估的。可以考虑简单地利用股票的价格ST和波动率?S来代替上式中的VT和?，所以，认股权证的定价公式为：
W?N?N?M?N?N?M?e?r(T?t)E[max(ST?X,0)]
N?N?M?MN^即为原始定价公式的
如果根据
VtN倍，所以稀释因子为。
?St?MNW，所以将St用替换St?N?MNW，可以得到
W?N?M?[(St?W)?(d1)?Ke?r(T?t)?(d2)]
其中：
St?In(d1MNKW)?(r??2?MNK2)(T?t)?T?tW)?(r?
St?In(d2?2?2)(T?t)?d1??T?t
?T?t17