??y*????????????????1??x*?*7(x?1)6**y??x?*7(x?1)
??????????????y*??x*?若通过(3?22)3计算y值，则
??y*???????(3?2x*)2??x*?6y*??x*?*3?2x????????????y*??x*???????????
若通过1计算y值，则 3(3?22)1??x*?*4(3?2x)??y*??????????????????1y*??x*?*7(3?2x)
????????????????y*??x*?通过1计算后得到的结果最好。 3(3?22)13．f(x)?ln(x?x2?1),求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1) 计算，求对数时误差有多大？ 解
f(x)?ln(x?x2?1), ?f(30)?ln(30?899) 设u?899,y?f(30) 则u*????????
1???u*??????4
2故
6
??y*??????????????*??u?*???u
1??u*?0.0167???????????????3若改用等价公式
ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1) 则f(30)??ln(30?899) 此时，
??y*???????????*???u?*???u1???u*?59.9833???????????7
第二章 插值法
1．当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：
x0?1,x1??1,x2?2,f(x0)?0,f(x1)??3,f(x2)?4;l0(x)?l1(x)?l2(x)?(x?x1)(x?x2)1??(x?1)(x?2)
(x0?x1)(x0?x2)2(x?x0)(x?x2)1?(x?1)(x?2)(x1?x0)(x1?x2)6(x?x0)(x?x1)1?(x?1)(x?1)(x2?x0)(x2?x1)3则二次拉格朗日插值多项式为
L2(x)??yklk(x)
k?02??3l0(x)?4l2(x)14 ??(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)
23537?x2?x?6232．给出f(x)?lnx的数值表
7
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知，
x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,x3?0.7,x4?0.8;f(x0)??0.916291,f(x1)??0.693147f(x2)??0.510826,f(x
3)??0.356675f(x4)??0.223144若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5?0.54?0.6
lx?x21(x)?x??10(x?0.6)1?x2lx?x12(x)?x??10(x?0.5) 2?x1L1(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x) ?6.9314x7?(?0.6)5.x1?082 6?L1(0.54)??0.6202186??0.620219 若采用二次插值法计算ln0.54时，
l(x?x1)(x?x2)0(x)?(x?x?50(x?0.5)(x?0.6)01)(x0?x2)l(x?x0)(x?x2)1(x)?(x??100(x?0.4)(x?0.6)1?x0)(x1?x2) l(x?x0)(x?x1)2(x)?(xx?50(x?0.4)(x?0.5)2?0)(x2?x1)L2(x)?f(x0)l0(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x)
??50?0.9162x9?1(x0.?5)(?0.6)x69?.31x47?(01?.048)2(605?.0x6()?L2(0.54?)?0.6153?19?84 0.6153203．给全cosx,0?x?90的函数表，步长h?1??(1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。
解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
8
?0.5x4)(?0
当0?x?90时， 令f(x)?cosx 取x0?0,h?(11??)??? 606018010800令xi?x0?ih,i?0,1,...,5400 则x5400??2?90
当x??xk,xk?1?时，线性插值多项式为
L1(x)?f(xk)x?xk?1x?xk ?f(xk?1)xk?xk?1xk?1?xk插值余项为
R(x)?cosx?L1(x)?1f??(?)(x?xk)(x?xk?1) 2又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx??0,1?，故计算中有误差传播过程。
1??(f*(xk))??10?52x?xk?1x?xk?1R2(x)??(f*(xk))??(f*(xk?1))xk?xk?1xk?1?xk??(f*(xk))(x?xk?1x?xk?1?)xk?xk?1xk?1?xk
1??(f*(xk))(xk?1?x?x?xk)h??(f*(xk))?总误差界为
9
R?R1(x)?R2(x)1(?cos?)(x?xk)(x?xk?1)??(f*(xk))21??(x?xk)(xk?1?x)??(f*(xk))2 11??(h)2??(f*(xk))221?1.06?10?8??10?52?0.50106?10?5?4．设为互异节点，求证：
k（1）?xk (k?0,1,n, )l(x)?xjjj?0nn（2）?(xj?x)klj(x)?0 (k?0,1,n, )j?0证明
（1） 令f(x)?xk
若插值节点为xj,j?0,1,n，,则函数f(x)的n次插值多项式为
Ln(x)??kxx) jlj(。
j?0nf(n?1)(?)插值余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)??n?1(x)
(n?1)!又k?n,
?f(n?1)(?)?0?Rn(x)?0n
k??xkjlj(x)?x (k?0,1,n, )j?0n(2)?(xj?x)klj(x)j?0??(?Ckjxij(?x)k?i)lj(x)
j?0ni?0iknn??C(?x)(?xijlj(x))k?ii?0j?0n10