又0?i?n 由上题结论可知
?xl(x)?x
kjjij?0n?原式??Cki(?x)k?ixii?0n?(x?x)k?0
?得证。
5设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：
1maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为
L1(x)?f(x0)x?x1x?x0 ?f(x1)x0?x1x?x0x?bx?a?f(b) a?bx?a =?f(a)又f(a)?f(b)?0
?L1(x)?0插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)??f(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2(x?x0)(x?x1)21f??(x)(x?x0)(x?x1) 2又?1????(x?x0)?(x1?x)???2?
12?(x1?x0)41?(b?a)241?maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b86．在?4?x?4上给出f(x)?ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10?6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：若插值节点为xi?1,xi和xi?1，则分段二次插值多项式的插值余项为
11
1f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1) 3!1?R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)
?4?x?46R2(x)?设步长为h，即xi?1?xi?h,xi?1?xi?h
123343?R2(x)?e4?h?eh.
62733若截断误差不超过10?6，则
R2(x)?10?6343eh?10?6 27?h?0.0065.?7．若yn?2n,求?4yn及?4yn.，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
yn?2n
?4yn?(E?1)4yn
?4???(?1j)??E4?jynj?0?j?4?4???(?1j)??y4?n?jj?0?j?4 j?4?4?j??(?1)??2?ynj?0?j?44?(2?1)yn?yn?2n12?124?yn?(E?E)yn
?(E)(E?1)4yn?24 ?E?yn?yn?2?1244
?2n?28．如果f(x)是m次多项式，记?f(x)?f(x?h)?f(x)，证明f(x)的k阶差分
12
。 ?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式，并且?m?1f(x)?0（l为正整数）解：函数f(x)的Taylor展式为
f(x?h)?f(x)?f?(x)h?1f??(x)h2?2?1(m)1f(x)hm?f(m?1)(?)hm?1 m!(m?1)!其中??(x,x?h) 又
f(x)是次数为m的多项式
?f(m?1)(?)?0??f(x)?f(x?h)?f(x) ?f?(x)h?
?1fm!m()1f??(x)h2?2(x)hm
??f(x)为m?1阶多项式
?2f(x)??(?f(x)) ??2f(x)为m?2阶多项式
依此过程递推，得?kf(x)是m?k次多项式
??mf(x)是常数
?当l为正整数时， ?m?1f(x)?0
9．证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk 证明
?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk
?fk?1gk?1?fkgk?1?fkg?k1?
fkgk
?gk?1(fk?1?fk)?fk(g?k1?g)k?gk?1?fk?fk?gk?fk?gk?g?k1?fk?得证
10．证明?fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk
k?0k?0n?1n?1证明：由上题结论可知
13
fk?gk??(fkgk)?gk?1?fk ??fk?gkk?0n?1n?1??(?(fkgk)?gk?1?fk)
k?0n?1???(fkgk)??gk?1?fkk?0k?0n?1?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk???(fkgk)k?0n?1
?(fngn?fn?1gn?1)?(f1g1?f0g0)?(f2g2?f1g1)??fngn?f0g0??fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk
k?0k?0n?1n?1得证。
11．证明??2yj??yn??y0
j?0n?1证明??yj??(?yj?1??yj)
2j?0j?0n?1n?1 得证。
?(?y1??y0)??(y2??y1?)??yn??y0??y(n??yn?
1)12．若f(x)?a0?a1x?证明：?j?1n?an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,,xn，
xk?0,0?k?n?2;j ???1f?(xj)?n0,k?n?1f(x)有个不同实根x1,x2,证明：
,xn
且f(x)?a0?a1x??an?1xn?1?anxn
(x?xn) (x?xn)
?f(x)?an(x?x1)(x?x2)令?n(x)?(x?x1)(x?x2)则?j?1nnxkxkjj ???(xj)f?(xj)j?1an?n14
?(x)?(x?x2)(x?x3)而?n ?(x?xn)?(x?x1)(x?x3)(x?n?x1 )(x?xn)
?(x?xx)1)(x?2?(xj)?(xj?x1)(xj?x2)??n令g(x)?xk,
(xj?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xn)
g?x1,x2,则g?x1,x2,又??j?1nxkj ,xn????(xj)j?1?nnxkj ,xn?????(x)j?1njnxk1j?g?x1,x2,f?(xj)an,xn?
??j?1nxk?0,0?k?n?2;j ???1?f(xj)?n0,k?n?1?得证。
13．证明n阶均差有下列性质： （1）若F(x)?cf(x)，则F?x0,x1,,xn??cf?x0,x1,,xn?;
,xn??f?x0,x1,,xn??g?x0,x1,,xn?.
（2）若F(x)?f(x)?g(x)，则F?x0,x1,证明： （1）
f?x1,x2,,xn???j?0nn(xj?x0)f(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xn)
F?x1,x2,,xn???j?0(xj?x0)nF(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xn) ??j?0(xj?x0)ncf(xj)
(xj?xj?1)(xj?xj?)1(xj?xn)f(xj))
(xj?xj?1)(xj?xj?)1(xj?xn) ?c(?j?0(xj?x0) ?cf?x0,x1,,xn?
?得证。
(2)F(x)?f(x)?g(x)
15