而(f,f)??f?(x)f?(x)dx
ab这与当且仅当f?0时，(f,f)?0矛盾
?不能构成C1[a,b]上的内积。
(2)若(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)，则
ab(g,f)??g?(x)f?(x)dx?g(a)f(a)?(f,g),???Kab(?f,g)??[?f(x)]?g?(x)dx?af(a)g(a)ab
??[?f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)]ab??(f,g)?h?C1[a,b],则
(f?g,h)??[f(x)?g(x)]?h?(x)dx?[f(a)g(a)]h(a)ab??f?(x)h?(x)dx?f(a)h(a)??f?(x)h?(x)dx?g(a)h(a)
aabb?(f,h)?(h,g)(f,f)??[f?(x)]2dx?f2(a)?0
ab若(f,f)?0，则
?ba[f?(x)]2dx?0,且f2(a)?0
?f?(x)?0,f(a)?0 ?f(x)?0
即当且仅当f?0时，(f,f)?0. 故可以构成C1[a,b]上的内积。 7。令Tn*(x)?Tn(2x1?),[x0,1?]，试证?Tn*(x)?是在[0,1]上带权?(x)?1x?x2的正
交多项式，并求T0*(x),T1*(x),T2*(x),T3*(x)。 解：
若Tn*(x)?Tn(2x?1),x?[0,1]，则
31
1?0*Tn*(x)Tm(x)P(x)dx1??Tn(2x?1)Tm(2x?1)01x?x2dx
t?1，故 2令t?(2x?1)，则t?[?1,1]，且x??10*Tn*(x)Tm(x)?(x)dx1??Tn(t)Tm(t)?11t?1t?12?()2211??Tn(t)Tm(t)dt2?11?td(t?1) 2又切比雪夫多项式?Tk*(x)?在区间[0,1]上带权?(x)?11?x2正交，且
?0,n?m??1x?T(x)T(x)d??,n?m?0 ??1nm21?t?2???,n?m?0??Tn*(x)?是在[0,1]上带权?(x)?1x?x2的正交多项式。
又T0(x)?1,x?[?1,1]
?T0*(x)?T0(2x?1)?1,x?[0,1]T1(x)?x,x?[?1,1]?T1*(x)?T1(2x?1)?2x?1,x?[0,1]
T2(x)?2x2?1,x?[?1,1]?T2*(x)?T2(2x?1)?2(2x?1)?1?8x2?8x?1,x?[0,1]2
T3(x)?4x3?3x,x?[?1,1]?T(x)?T3(2x?1)?4(2x?1)3?3(2x?1)*3
?32x?48x?18x?1,x?[0,1]32
8。对权函数?(x)?1?x2，区间[?1,1]，试求首项系数为1的正交多项式
32
?n(x),n?0,1,2,3.
解：
若?(x)?1?x2，则区间[?1,1]上内积为
(f,g)??1?1f(x)g(x)?(x)dx
定义?0(x)?1，则
?n?1(x)?(x??n)?n(x)??n?n?1(x)
其中
?n?(x?n(x),?n(x))/(?n(x),?n(x))?n?(?n(x),?n(x))/(?n?1(x),?n?1(x))??0?(x,1)/(1,1)??1?1x(1?x2)dx?11(1?x2?)dx?0??1(x)?x?21?(x,x)/(x,x)1???1x3(1?x2)dx?1?1x2(1?x2)dx?0?1?(x,x)/(1,1)?122??1x(1?x)dx?1?1(1?x2)dx16?1528?53??2(x)?x2?2533
?2?(x3?x,x2?)/(x2?,x2?)222555122322(x?x)(x?)(1?x)dx??155?12222(x?)(x?)(1?x2)dx??155?022?2?(x2?,x2?)/(x,x)5512222(x?)(x?)(1?x2)dx??155?122x(1?x)dx??12513617?525?1670152179??3(x)?x3?x2?x?x3?x57014
9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族?un(x)?是[0,1]上带权
?(x)?1?x2的正交多项式。
证明： 若Un(x)?sin[(n?1)arccosx]1?x2
令x?cos?，可得
?1?1Um(x)Un(x)1?x2dx1sin[(m?1)arccosx]sin[(n?1)arccosx]dx2?11?x
0sin[(m?1)?sin[(n?1)?]??d?2?1?cos?????sin[(m?1)?sin[(n?1)?]d?0?当m?n时，
??0sin2[(m?1)?d??0???1?cos[2(m?1)?]d?
2?2当m?n时，
34
??0sin[(m?1)?sin[(n?1)?]d??0??sin[(m?1)?d{???1cos(n?1)?}n?11cos(n?1)?d{sin[(m?1)?]}0n?1?m?1???cos(n?1)?cos(m?1)?d?0n?1 ?m?11???cos[(m?1)?]d{sin[(n?1)?]}0n?1n?1?m?1???sin[(n?1)]?d{cos[(m?1)?]}0(n?1)2?m?1??()2sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d?0n?1?0?[1?(m?12?)]?sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d??0 0n?1m?12)?1 又m?n，故(n?1?0??sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d??0 得证。
10。证明切比雪夫多项式Tn(x)满足微分方程
(1?x2)Tn??(x)?xTn?(x)?n2Tn(x)?0 证明：
切比雪夫多项式为
Tn(x)?cos(narccosx),x?1 从而有
35