?F?x0,,xn???j?0n(xj?x0)F(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xn)
??j?0nn(xj?x0)f(xj)?gx(j)
x(j?xj?1x)j(?xj?1)xj?(xn)f(xj))
(xj?xj?1)(xj?xj?)1(xj?xn)g(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1))
??j?0(xj?x0) +?j?0n(xj?x0)(xj?xn) ?f?x0,,xn??g?x0,,xn?
01?,27?F2,2,及???得证。
012,2,14．f(x)?x7?x4?3x?1,求F??,28??。
解：
f(x)?x7?x4?3x?1
若xi?2i,i?0,1,则f?x0,x1,?f?x0,x1,f?x0,x1,,8
f(n)(?),xn??
n!f(7)(?)7!,x7????1
7!7!f(8)(?),x8???0
8!15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4) R3(x)?f?()(?xkx2)?(xk?1x2)?/?4!,kxx,?k(1
)解：
若x?[xk,xk?1]，且插值多项式满足条件
?(xk)?f?(xk) H3(xk)?f(xk),H3?(xk?1)?f?(xk?1) H3(xk?1)?f(xk?1),H3插值余项为R(x)?f(x)?H3(x) 由插值条件可知R(xk)?R(xk?1)?0
16
且R?(xk)?R?(xk?1)?0
?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2
其中g(x)是关于x的待定函数，
现把x看成[xk,xk?1]上的一个固定点，作函数
?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)2(t?xk?1)2
根据余项性质，有
?(xk)?0,?(xk?1)?0
?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2?f(x)?H3(x)?R(x)?0
?(t)?g(x)[2(t?xk)(t?xk?1)2?2(t?xk?1)(t?xk)2] ??(t)?f?(t)?H3???(xk)?0
??(xk?1)?0
由罗尔定理可知，存在??(xk,x)和??(x,xk?1)，使
??(?1)?0,??(?2)?0
即??(x)在[xk,xk?1]上有四个互异零点。
根据罗尔定理，???(t)在??(t)的两个零点间至少有一个零点， 故???(t)在(xk,xk?1)内至少有三个互异零点， 依此类推，?(4)(t)在(xk,xk?1)内至少有一个零点。 记为??(xk,xk?1)使
?(4)(?)?f(4)(?)?H3(4)(?)?4!g(x)?0
又H3(4)(t)?0
f(4)(?)?g(x)?,??(xk,xk?1)
4!17
其中?依赖于x
f(4)(?)?R(x)?(x?xk)2(x?xk?1)2
4!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k?0,1,,n)，设步长为h，即
xk?x0?kh,k?0,1,,n在小区间[xk,xk?1]上
R(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)24!?R(x)?1 f(4)(?)(x?xk)2(x?x24!k?1)?14!(x?x2k)x(k?1?x2)a?xm?bafx(4x)()?1[(x?xk?xk?1?x)2]2max4) 4!2a?x?bf((x)?14!?1
4(4)24hmaxa?x?bf(x)h4?maxf(4()384a?x?bx)16．求一个次数不高于4次的多项式PP(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?0,P(2)?0
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
x0?0,x1?1y0?0,y1?1 m0?0,m1?111H3(x)??yj?j(x)?j?0?mj?j(x)j?0?0(x)?(1?2x?x0x?x1xx)()2
0?1x0?x1?(1?2x)(x?1)2?x?x1x?x021(x)?(1?2x)()1?x0x1?x0
?(3?2x)x2?0(x)?x(x?1)2?1(x)?(x?1)x2
18
x），使它满足
（
?H3(x)?(3?2x)x2?(x?1)x2??x3?2x2 设P(x)?H3(x)?A(x?x0)2(x?x1)2 其中，A为待定常数
P(2)?1?P(x)??x3?2x2?Ax2(x?1)2?A?1 4
从而P(x)?12x(x?3)2 417．设f(x)?1/(1?x2)，在?5?x?5上取n?10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：
若x0??5,x10?5 则步长h?1,
xi?x0?ih,i?0,1,f(x)?1 21?x,10
在小区间[xi,xi?1]上，分段线性插值函数为
Ih(x)?x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)
xi?xi?1xi?1?xi11 ?(x?x)i1?xi21?xi?12 ?(xi?1?x)各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x??4.5时，f(x)?0.0471,Ih(x)?0.0486 当x??3.5时，f(x)?0.0755,Ih(x)?0.0794 当x??2.5时，f(x)?0.1379,Ih(x)?0.1500 当x??1.5时，f(x)?0.3077,Ih(x)?0.3500 当x??0.5时，f(x)?0.8000,Ih(x)?0.7500
19
误差
h2maxf(x)?Ih(x)?maxf??(?) xi?x?xi?18?5?x?51 1?x2?2x?f?(x)?,22(1?x)又f(x)?6x2?2f??(x)?(1?x2)324x?24x3f???(x)?(1?x2)4令f???(x)?0
得f??(x)的驻点为x1,2??1和x3?0
1f??(x1,2)?,f??(x3)??22 1?maxf(x)?Ih(x)??5?x?5418．求f(x)?x2在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解：
在区间[a,b]上，x0?a,xn?b,hi?xi?1?xi,i?0,1,h?maxhi0?i?n?1,n?1,
f(x)?x2
?函数f(x)在小区间[xi,xi?1]上分段线性插值函数为 Ih(x)??x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)xi?xi?1xi?1?xi12[xi(xi?1?x)?xi?12(x?xi)]hi
误差为
20