Tn?(x)??sin(narccosx)n(?n1?x2?11?x2)sin(narccosx)nn2sin(narccosx)?cos(narccosx)321?x2Tn??(x)?(1?x2)nx1?x2nx1?x2?(1?x2)Tn??(x)?xTn?(x)?n2Tn(x)???0sin(narccosx)?n2cos(narccosx)sin(narccosx)?n2cos(narccosx)
得证。
11。假设f(x)在[a,b]上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式？ 解：
f(x)在闭区间[a,b]上连续
?存在x1,x2?[a,b]，使 f(x1)?minf(x),a?x?bf(x2)?maxf(x),a?x?b
1取P?[f(x1)?f(x2)]
2则x1和x2是[a,b]上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。 由切比雪夫定理知
P为f(x)的零次最佳一致逼近多项式。
12。选取常数a，使maxx3?ax达到极小，又问这个解是否唯一？
0?x?1解：
令f(x)?x3?ax
则f(x)在[?1,1]上为奇函数
?maxx3?ax0?x?1?maxx3?ax
?1?x?1??f36
又f(x)的最高次项系数为1，且为3次多项式。
??3(x)?1T(x)与0的偏差最小。 33213?3(x)?T3(x)?x3?x
443从而有a?
4?13。求f(x)?sinx在[0,]上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
2解：
f(x)?sinx,x?[0,]2f?(x)?cosx,f??(x)??sinx?0f(b)?f(a)2a1??,b?a?2cosx2?,??
?x2?arccos2??0.88069f(x2)?0.77118f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2?2b?a2?0.10526a0?于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为
P1(x)?0.10526?2?2x
即
sinx?0.10526??x,0?x??2
误差限为
sinx?P1(x)?0.10526??sin0?P1(0)
14。求f(x)?ex?0,1?在?0,1?上的最佳一次逼近多项式。 解：
f(x)?ex,x??0,1??f?(x)?ex,f??(x)?ex?037
f(b)?f(a)?e?1b?aex2?e?1x2?ln(e?1)a1?f(x2)?ex2?e?1f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2?2b?a21?(e?1)ln(e?1)??(e?1)221?ln(e?1)2a0?
于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为
e1?(e?1)[x?ln(e?1)]22
1?(e?1)x?[e?(e?1)ln(e?1)]2P1(x)?15。求f(x)?x4?3x3?1在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：
f(x)?x4?3x3?1,x?[0,1]
1令t?2(x?)，则t?[?1,1]
211且x?t?
221111?f(t)?(t?)4?3(t?)3?12222
14?(t?10t3?24t222t?9)16令g(t)?16f(t)，则g(t)?t4?10t3?24t2?22t?9 若g(t)为区间[?1,1]上的最佳三次逼近多项式P3*(t)应满足
maxg(t)?P3*(t)?min
?1?t?1当g(t)?P3*(t)?114T(t)?(8t?8t2?1) 3428*时，多项式g(t)?P3(t)与零偏差最小，故
38
*3(t)?g(t)?1T(t)342738
?10t3?25t2?22t?进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为多项式为
1*P3(t)，则f(x)的三次最佳一致逼近16173[10(2x?1)3?25(2x?1)2?22(2x?1)?]168
51129?5x3?x2?x?44128P3*(t)?16。f(x)?x，在??1,1?上求关于??span?1,x2,x4?的最佳平方逼近多项式。 解：
f(x)?x,x???1,1? 若(f,g)??f(x)g(x)dx
?11且?0?1,?1?x2,?2?x4，则
?02?2,?12?,?22?,11(f,?0)?1,(f,?1)?,(f,?2)?,
2322(?0,?1)?1,(?0,?2)?,(?1,?2)?,57则法方程组为
??2??2?3?2???52325272???5??a??1??0??2????1?a1?? ??7???2??a2??2??1????9??3?2225229解得
?a0?0.1171875??a1?1.640625 ?a??0.8203125?2故f(x)关于??span?1,x2,x4?的最佳平方逼近多项式为
39
S*(x)?a0?a1x2?a2x4?0.1171875?1.640625x?0.8203125x24
17。求函数f(x)在指定区间上对于??span?1,x?的最佳逼近多项式：
1(1)f(x)?,[1,3];(2)f(x)?ex,[0,1]; x(3)f(x)?cos?x,[0,1];(4)f(x)?lnx,[1,2];解：
(1)1f(x)?,[1,3];
x31若(f,g)??f(x)g(x)dx 且?0?1,?1?x,，则有
?02?2,?12?(?0,?1)?4,2226,3
(f,?0)?ln3,(f,?1)?2,则法方程组为
?2???4?4???a0???ln3? 26???????a1??2?3?从而解得
?a0?1.1410 ??a1??0.2958故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x?1.1410?0.2958x
(2)f(x)?ex,[0,1]
10若(f,g)??f(x)g(x)dx 且?0?1,?1?x,，则有
40