kBn(f,x)??f()Pk(x)
nk?0n?n?其中Pk(x)???xk(1?x)n?k
?k?当n?1时，
?1?P0(x)???(1?x)
?0?P1(x)?x?B1(f,x)?f(0)P0(x)?f(1)P1(x)?1??????(1?x)sin(?0)?xsin22?0??x当n?3时，
?1?P0(x)???(1?x)3?0??1?22P(x)?1??x(1?x)?3x(1?x)?0??3?P2(x)???x2(1?x)?3x2(1?x)?1??3?3P3(x)???x?x3?3?
k?B3(f,x)??f()Pk(x)nk?0?0?3x(1?x)2sin?3?6?3x2(1?x)sin?3?x3sin?23332x(1?x)2?x(1?x)?x3225?33333?623?x?x?x222?1.5x?0.402x2?0.098x3
2．当f(x)?x时，求证Bn(f,x)?x 证明： 若f(x)?x，则
kBn(f,x)??f()Pk(x)
nk?026
n
k?n?kn?????x(1?x)k?0n?k?nkkn(n?1)n(?k?1k)n?kx(1?x)k!k?0nn(n?1)n[(??1)k?(?1)k1]n??x(1?x)?(k?1)!k?1???n?1?kn?k ????x(1?x)k?1?k?1?n?n?1?k?1(n??x??x(1?x)?k?1?k?1?nnk
?1)?k(1)?x[x?(1?xn)?1]?x3．证明函数1,x,证明：
若a0?a1x?a2x2?,xn线性无关
?anxn?0,?x?R
,n)，对上式两端在[0,1]上作带权?(x)?1的内积，得
分别取xk(k?0,1,2,?1??a??0?1??0n?1???a??0????1???? ??????1??????1???an??0?2n?1??n?1此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， ?只有零解a=0。
?函数1,x,,xn线性无关。
4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的f?,f1与f2：
(1)f(x)?(x?1)3,x?[0,1]1(2)f(x)?x?,2
(3)f(x)?xm(1?x)n,m与n为正整数， (4)f(x)?(x?1)10e?x 解：
(1)若f(x)?(x?1)3,x?[0,1]，则
27
f?(x)?3(x?1)2?0
?f(x)?(x?1)3在(0,1)内单调递增
f??maxf(x)0?x?1?max?f(0),f(1)? ?max?0,1??1f??maxf(x)0?x?1?max?f(0),f(1)? ?max?0,1??1f2?(?(1?x)dx)0161211712?[(1?x)]07
?771,x??0,1?，则 212(2)若f(x)?x?ff??maxf(x)?0?x?110??f(x)dx111?2?1(x?)dx221?4
f
21
?(?f(x)dx)
0
1
2
12
121
?[?(x?)dx]2
023?6
(3)若f(x)?xm(1?x)n,m与n为正整数
当x??0,1?时,f(x)?0
28
f?(x)?mxm?1(1?x)n?xmn(1?x)n?1(?1)n?m
?xm?1(1?x)n?1m(1?mx)当x?(0,mn?m)时,f?(x)?0 ?f(x)在(0,mn?m)内单调递减 当x?(mn?m,1)时,f?(x)?0 ?f(x)在(mn?m,1)内单调递减。 x?(
m
n?m
,1)f?(x)?0f??max0?x?1
f(x)?
?max???f(0),f(m? n?m)?
?
?
mmnn(m?n)m?n
f11??0f(x)dx??10xm(1?x)ndx???20(sin2t)m(1?sin2t)ndsin2t
???20sin2mtcos2ntcost2sintdt?n!m!(n?m?1)!f22?[?112m2n0x(1?x)dx]?1?[?24m4n20sintcostd(sint)]2?1
?[?22sin4m?1tcos4n?120tdt]?(2n)!(2m)![2(n?m)?1]!(4)若f(x)?(x?1)10e?x
当x??0,1?时，f(x)?0
29
f?(x)?10(x?1)9e?x?(x?1)10(?e?x)?(x?1)9e?x(9?x)
?0?f(x)在[0,1]内单调递减。 f??max0?x?1f(x)??max?f(0),f(1)??210ef??110f(x)dx??10(x?1)10e?xdx??(x?1)10e?x1??1010(x?1)9e?x0dx?5?10e1f120?2x2?[?0(x?1)edx]2?7(3
4?4e2)5。证明f?g?f?g 证明：
f?(f?g)?g?f?g?g
?f?g?f?g6。对f(x),g(x)?C1[a,b]，定义
(1)(f,g)??baf?(x)g?(x)dx(2)(f,g)??b
af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)问它们是否构成内积。 解：
(1)令f(x)?C（C为常数，且C?0）则f?(x)?0
30