由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．
6t111。∴m?t2? t?6（0＜t＜11）。 ?11?t6?m6611?1311+13（Ⅲ）点P的坐标为（，6）或（，6）。
33∴
【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，
△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。
（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，
然后利用相似三角形的对应边成比例与m?1211t? t?6，即可求得t的值： 66过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。 ∴∠PC′E+∠EPC′=90°。
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。 ∴△PC′E∽△C′QA。∴
PE PC?。 ?AC?C?Q∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m， ∴AC?? C?Q2?AQ2? 36?12m。
11?t。 6?m36?12m666t611?t∵，即?，∴=，即36?12m=t2。 ?11?t6?mt6?m36?12mt111将m?t2? t?6代入，并化简，得3t2?22 t?36=0。解得：
66∴6 ?t1?11?1311+13。 ，t2?33∴点P的坐标为（11?1311+13，6）或（，6）。 332. （2012海南省11分）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角
线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN. （1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
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（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，
BC=3，求PC的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。
又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。
（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。
又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。
四边形MFNE不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=90， ∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。 ∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。 （3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得
3 x＋5 x=12，解得x=
0
33，即DN=BM=。 22过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。 在△NHM中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得NM=10。 ∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=10。
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又∵PQ=CQ，∴CQ=10。
在△CBQ中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。 ∴NP=MQ=
131。∴PC=4－－=2。 222【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。
【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=
3。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理2可得NM=10，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=10。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。
3. （2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．
【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′， ∴△ABG≌△C′DG（ASA）。
（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。
设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，∵AB+AG=BG，即6+x=（8﹣x），解得x=
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7AG47∴tan?ABG?。 ??AB624（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=
∵tan∠ABG=tan∠ADE=
1AD=4。 27777。∴EH=HD×=4×=。
246242411AB=×6=3。 22∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线。∴HF=
725∴EF=EH+HF=+3=。
66【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。
【分析】（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。
（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即
可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=
1AD=4，再根据tan∠ABG的值2即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。 4. （2012广东深圳8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE. (1)求证：四边形AFCE为菱形；
(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。 ∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四边形AFCE为菱形。
（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a=b+c。理由如下：
由折叠的性质，得：CE=AE。 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°。
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∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。 在Rt△DCE中，CE=CD+DE，
∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a=b+c。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形。
（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之
间的数量关系式为：a=b+c。（答案不唯一）
5. （2012广东珠海9分） 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
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【答案】解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC。
（2）（1）中的结论PO∥BC成立。理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。 又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。
?所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。 又∵∠A与∠PCB都为PB∴PO∥BC。
（3）证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。 由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。
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