∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。 ∴EM=AP=x．
x2∴在Rt△APE中，（4﹣BE）+x=BE，即BE?2+。
8x2∴CF?BE?EM?2+?x。
82
2
2
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
?11?x212124+?x?4=x?2x+8=x?2+6。 ∴S???BE?CF??BC=??????22?422??∵0<1<4，∴当x=2时，S有最小值6。 2【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）+x=BE，利用二次函数的最值求出即可。
14. （2012山东菏泽6分）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
2
2
2
【答案】依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，BE?∴CE=4，∴E（4，8）。 在Rt△DCE中，DC+CE=DE，
2
2
2
AD2?AB2?102?82?6，
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又∵DE=OD，∴（8﹣OD）+4=OD。∴OD=5。∴D（0，5）。
【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理。
【分析】先根据勾股定理求出BE的长，从而可得出CE的长，求出E点坐标。在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，从而得出D点坐标。 15. （2012山东威海10分） （1）如图①，
ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F
222
求证：AE=CF。
（2）如图②，将
ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点
B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。 求证：EI=FG。
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC。 ∴△AOE≌△COF（AAS）。∴AE=CF。 （2）由（1）得，AE=CF。
∵由折叠性质，得AE=A1E，∴A1E=CF。 ∵∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，
∴∠EIA1=∠DIH=180－∠D－∠DHI=180－∠B1－∠B1HG=∠B1GH=∠FGC。 在△EIA1和△FGC中，∵∠A1=∠C，∠EIA1 =∠FGC，A1E=CF， ∴△EIA1≌△FGC（AAS）。∴EI=FG。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质， 三角形内角和定理，对顶角的性质。
【分析】（1）要证AE=CF，只要△AOE和△COF全等即可。一方面由平行四边形对边平行的性质和平行
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0
0
线内错角相等的性质，可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO；另一方面由平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC。从而根据AAS可证。
（2）要证EI=FG，只要△EIA1和△FGC全等即可。一方面由（1）可得AE=CF；另一方面由折叠的性质、三角形内角和定理和对顶角相等的性质，可得∠A1=∠C，∠EIA1 =∠FGC。从而根据AAS可证。 16. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。 ∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。 又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。 （2）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，
△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC。
∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。 ∴点N是线段BC的中点。
（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。
在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。 在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴OF?2343。∴FG=2OF?。 33【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，
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特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而 判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。
（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。 （3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求 出FO，从而可得出FG的长度。
17. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。 ∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。 又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。 （2）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，
△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC。
∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。 ∴点N是线段BC的中点。
（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。
在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。
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在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴OF?2343。∴FG=2OF?。 33【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而 判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。
（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。 （3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求 出FO，从而可得出FG的长度。
18. （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
?所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度； （1）①折叠后的AB??经过圆心为O时，求AOB ②如图2，当折叠后的AB的长度；
③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
?所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，?与CD①如图4，当AB∥CD，折叠后的AB求d的值；
?所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N?与CD②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的AB为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
?所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2。 【答案】解：（1）①折叠后的AB?经过圆O时，折叠后的AB?所在圆O′在②当AB2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。
∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。
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⊙O上，如图