∴∠AOP=60°。
又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。
又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。 ∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。
又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。 又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。
1PC， 211又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。
24在Rt△PCD中，PD=
【考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
6. （2012
福建龙岩12分）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为 ；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
第 26 页 共 47 页
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为 ．
【答案】解：（1）3。
（2）作出的折合矩形EFGH：
（3）2a ； 2a。
【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。
【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。
（3）由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a。
根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为2a。
7. （2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形；②在
①的
条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．
第 27 页 共 47 页
【答案】解：(1)5。
由折叠（轴对称）性质知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=90。
在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴ A?C?52?32?4。 ∴A′B=BC－A′C=5－4=1。
∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=90， ∴∠BEA′=∠FA′C。 又 ∵∠B=∠C=90，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。∴ ∴ A?E?0
0
0
A?EA?BA?E1，即??
A?FFC535。 325510。 ?25?93在Rt△A′EF中，EF?A?E2?A?D2?（2）①3?x?5。
②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。 又 ∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ 。∴∠AEF=∠AFE 。 ∴AE=AF。∴AE=A′E=AF=A′F。 ∴四边形AEA′F是菱形。
【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。
【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A′与B重合时（如图1），EF= AD=5。
根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的长，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF求得A?E?5，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的长。 3 （2）①由图3和图4可得，当3?x?5时，四边形AEA′F是菱形。
②由折叠和矩形的性质，可得AE=A′E，AF=A′F。由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF。从而AE=A′E=AF=A′F。根据菱形的判定得四边形AEA′F是菱形。
8. （2012湖北恩施8分）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，
第 28 页 共 47 页
再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
【答案】证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1。
∴AE?AB2?BE2?5。
又B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=5﹣1。 又∵AB″=AB′，∴AB″=5﹣1。 ∴AB?：AB??5?1：2。∴点B″是线段AB的黄金分割点。
?【考点】翻折（折叠）问题，正方形的性质，勾股定理，折叠对称的性质，黄金分割。
【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AB″的长，二者相比即可得到黄金比。
9. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田12分）如图，抛物线y=ax+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
2
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
2
第 29 页 共 47 页
1?a=???a?b+2=0?2。
∴?，解得：??16a+4b+2=0?b=3??213∴抛物线解析式为y??x2?x?2。
2213当y=2时，?x2?x?2?2，解得：x1=3，x2=0（舍去）。
22∴点D坐标为（3，2）。
（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1（0，2）。
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、
D点到直线AE（即x轴）的距离相等，∴P点的纵坐标为﹣2。
133+413?41代入抛物线的解析式：?x2?x?2??2，解得：x1?。 ，x2?22223+413?41∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）。
223+413?41综上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）。
22（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方。
13设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，， ?a2?a?2）
22①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
33?1?1PQ=2???a2?a?2?=a2?a。
22?2?2又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，
∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，
123 a?a Q'CQ'P a 22 ，解得F Q′=a﹣3 =∴，即=COFQ'2FQ'∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a﹣3）=3，
CQ=CQ'= CO2+OQ'2=32+22=13 。
?9+313此时a=13，点P的坐标为（13，）。 2第 30 页 共 47 页