8m4m2?20x1?x2??,x1x2?，-------------------8分
55?kMA?kMB?y1?1y2?1?y1?1???x2?4???y2?1???x1?4? ??x1?4x2?4x?4?x?4?1??2???x1?m?1???x2?4???x2?m?1???x1?4??2x1x2??m?5??x1?x2??8?m?1??0， ?x1?4???x2?4??x1?4???x2?4??kMA?kMB为定值0.---- --------12分
5.已知椭圆的焦点F,0?,F2??1,0?，过P?0,1?1为6，过F1作直线l与椭圆交于A、B两点.
（I）求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)是否存在实数t使PA?PB?tPF求t的值和直线l的方程；若不存在，1，若存在，说明理由．
??1??作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长2??61?x2y222, (Ⅰ)设椭圆方程为2?2?1，由题意点?在椭圆上，a?b?1 ??22?ab??x261
?y2?1………………5分 所以2 +2 =1，解得
4(1+b)4b2????(Ⅱ)当直线斜率不存在时，易求A?1,2?,B?1,?2?，所以
?2??2?????PA?(1,2?12?11),PB?(1,?),PF1?(1,?) 222t?2，直线l的方程为x?1．………………7分 由PA?PB?tPF1得
当直线斜率存在时，
1?1?1????，,PB?x,y?PF?1,?1??22???
2?2?2????由PA?PB?tPF1得
所以PA??x1,y1??x1?x2?t?x1?x2?t??即?11t?t
y1??y2???y1?y2?1???222??21因为y1?y2?k(x1?x2?2)，所以k??
21此时，直线l的方程为y???x?1?新课标第一网
21x2y26.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径
2ab的圆与直线x?y?6?0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点。
（1）求椭圆C的方程； （2）求OA,OB的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。
c2a2?b21c14222 (1)解：由题意知e??，∴e?2?，即a?b ?2a234aa6?3，∴a2?4，又b?b2?3 1?1y2x2??1 故椭圆的方程为43(2)解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y?k(x?4)
?y?k(x?4)?由?x2得：(4k2?3)x2?32k2x?64k2?12?0 y2??1?3?41由??(?32k2)2?4(4k2?3)(64k2?12)?0得：k2?
4设
32k264k2?12A(x1，y1)，B (x2，y2)，则x1?x2?2 ，x1x2?4k?34k2?3 ①
∴y1y2?k(x1?4)k(x2?4)?k2x1x2?4k2(x1?x2)?16k2 ∴
64k2?1232k28722OA?OB?x1x2?y1y2?(1?k)??4k??16k?25?4k2?34k2?34k2?32187878713，∴?，∴OA?OB?[?4，) ≤?2??43444k?313∴OA?OB的取值范围是[?4，)．
4∵0≤k2?(3)证：∵B、E两点关于x轴对称，∴E(x2，－y2)
y?y2y(x?x2)(x?x1)，令y = 0得：x?x1?11直线AE的方程为y?y1?1 又
x1?x2y1?y22xx?4(x1?x2)y1?k(x1?4)，y2?k(x2?4)，∴x?12
x1?x2?8由将①代入得：x = 1，∴直线AE与x轴交于定点(1，0)．
x2y27.已知椭圆2?2?1?a?b?0?的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
ab形，直线x?y?b?0是抛物线y?4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S(0,?)的动直线L交椭圆C于 A．B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由。
213解析：（Ⅰ）由??x?y?b?0消去y得:x2?(2b?4)x?b2?0
2?y?4x因直线y?x?b与抛物线y2?4x相切，???(2b?4)2?4b2?0，∴b?1， ………………2分
x2y2∵圆C:2?2?1(a?b?0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
ab
x2?y2?1. 形，∴a?2b?2 故所求椭圆方程为22 （Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x?(y?)?() 当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2?y2?1
1324321242?2?x?0?x?(y?)?()由? 33解得?y?1??x2?y2?1?即两圆公共点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：y?kx?1 31?y?kx???322由?消去y得:(18k?9)x?12kx?16?0 2?x?y2?1??2
12k?x?x?22??118k?9
记点A(x1,y1)．B(x2,y2),则??xx??1612?18k2?9?又因为TA?(x1,y1?1),TB?(x2,y2?1)
44
所以TA?TB?x1x2?(y1?1)(y2?1)?x1x2?(kx1?)(kx2?)33?(1?k2)x1x2?416k(x1?x2)? 39?16412k16?(1?k2)??k???0 2218k?9318k?99
∴TA⊥TB,
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．
x228.设椭圆C:2?y?1(a?0)的两个焦点是F1(?c,0)和F2(c,0)(c?0)，且椭圆C上的点
a到焦点F2的最短距离为3?2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过
点A（0，-1），求实数m的取值范围。
x2y29.已知椭圆C:2?2?1的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为
ab2?1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点E(2，0)且斜率为k(k?0)的直线l与C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，证明：N、F、P三点共线．
??2b?2c (I)由题可知：? …………2分
??a?c?2?1解得a?2,c?1，?b?1
x2?y2?1…………………………4分 ?椭圆C的方程为C:2 （II）设直线l：y?k(x?2)，M(x1，0)， y1)，N(x2，y2)，P(x1，?y1)，F(1，?y?k(x?2)，?2222由?x2得(2k?1)x?8kx?8k?2?0.…………6分 2??y?1，?28k28k2?2所以x1?x2?，x1x2?. ……………………8分 222k?12k?1而
uuurFN?(x2?1，y2)?(x2?1，kx2?2k)uurFP?(x1?1，?y1)?(x1?1，?kx1?2k)，…………10分
Q(x1?1)(kx2?2k)?(x2?1)(?kx1?2k)?k[2x1x2?3(x1?x2)?4]
，
?16k2?424k2??k???4??0 22?2k?12k?1?uuuruur?FN//FP
∴N、F、P三点共线
13
10.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，)、A、B在椭圆E上，
22
→→→
且PA＋PB＝mOP(m∈R)．
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
(2)当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．
19b2122
?1解：（1）由e?1?2=及2?解得a=4，b=3， 24ba4ax2y2??1；…………………………………………………………2分 椭圆方程为432