（Ⅲ）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有
的坐标；若不存在，请说明理由．
GFGP?1？若存在，求出点P2x2y2解：（Ⅰ）由双曲线E：??1，得l： x??4，C(?4,0)，F(?6,0)．……2分
2412又圆C过原点，所以圆C的方程为(x?4)2?y2?16． ……………………4分 （Ⅱ）由题意，设G(?5,yG)，代入(x?4)2?y2?16，得yG??15，…………5分 所以FG的斜率为k??15，FG的方程为y??15(x?6)．………………6分 所以C(?4,0)到FG的距离为d?15， ……………………………………7分 22直线FG被圆C截得的弦长为216?(152)?7 ……………………………9分
2|GF|1(x0?6)2?y01 (Ⅲ)设P(s,t),G(x0,y0),则由?，得|GP|2(x0?s)2?(y0?t)22整理得3(x0+y0)+(48+2s)x0+2ty0+144-s-t=0. ① ………………11分 2222
又G(x0,y0)在圆C:(x+4)+y=16上，所以x0+y0+8x0=0 ②
22
②代入①，得(2s+24)x0+2ty0+144-s-t=0. ……………………………………13分
?2s?24?0又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知，?2t?0…………………………14分
??144?s2?t2?0?2222
解得：s= -12, t=0. …………………………………………………………………15分 所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12,0）．
x2y2A，P为17. 椭圆C：2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为
ab23椭圆C上任意一点．已知PF1?PF2的最大值为，最小值为．
（１）求椭圆C的方程；
（２）若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 解析：（1）
P是椭圆上任一点,?|PF1|?|PF2|?2a且a?c?|PF1|?a?c，
y?PF1?PF2?|PF1||PF2|cos?F1PF2
1?[|PF1|2?|PF2|2?4c2] 21?[|PF1|2?(|2a?|PF1|)2?4c2] 2?(|PF1|?a)2?a2?2c2……………………2分
当|PF1|?a时，y有最小值a?2c；当|PF2|?a?c或a?c时, y有最大值a?c．
2222?a2?4?a2?c2?3222b?a?c?3． ， ， ??2?22c?1??a?2c?2x2y2?1。……………………4分Xkb1.com ?椭圆方程为?43（2） 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，将y?kx?m代入椭圆方程得
(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0．
?8km4m2?12?x1?x2?2,x1x2?………………6分
4k?34k2?3y1?kx1?m，y2?kx2?m，y1y2?k2x1x2?(km?2)(x1?x2)?m2，
MN为直径的圆过点A?AM?AN?0，?7m2?16km?4k2?0，
[来源:学科网]
2?m??k或m??2k都满足??0，……………………9分
7若m??2k直线l恒过定点(2,0)不合题意舍去，
222k直线l：y?k(x?)恒过定点(,0)。 777x2y2??1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. 18. 已知抛物线D的顶点是椭圆43若m??(1)求抛物线D的方程;
(2)已知动直线l过点P?4,0?,交抛物线D于A、B两点.
?i?若直线l的斜率为1,求AB的长;
?ii?是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如
果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由.
解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为y?2px?p?0?. …………1分
2由a2?b2?4?3?1,得c?1. …………2分
?抛物线的焦点为?1,0?,?p?2. …………3分 ?抛物线D的方程为y2?4x. …………4分
(2)设A?x1,y1?,B?x2,y2?. …………5分
?i?直线l的方程为：y?x?4, …………6分
?y?x?4联立?2,整理得:x2?12x?16?0 …………7分
?y?4x?AB=(1?1)2[?x1?x2??4x1x2?410.…………9分
2
19.已知圆C1的方程为x?(y?2)?1，定直线l的方程为y??1．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；新课标第一网
（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记S为?POQ（O为坐标原点）的面积，求S的值．
解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为(x,y)，动圆半径为R，则 |CC1|?22x2?(y?2)2?R?1，且|y?1|?R ————2分
22 可得 x?(y?2)?|y?1|?1．
y 由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线
22l的上方，所以有y?1?0，从而得x?(y?2)?y?2，整
Q A F P 理得x?8y，即为动圆圆心C的轨迹M的方程． ————5分
2O B A x x02)，则切线的斜率为（II）如图示，设点P的坐标为(x0,8x0x0244，可得直线PQ的斜率为?，所以直线PQ的方程为y???(x?x0)．由于该直4x08x0x02?4，得x02?16．因为点P在第一象限，所以x0?4，线经过点A（0,6），所以有6?8点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为x?y?6?0． —————9分
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得x?8x?48?0，解得x??12或4，可得点Q的坐标为(?12,18)．所以
21|OA||xP?xQ|?48 23x2y220．已知椭圆2?2?1(a?b?0)经过点M(,6)，它的焦距为2，它的左、右顶点
2ab分别为A1,A2，P，点P2 是点P1是该椭圆上的一个动点（非顶点）1关于x轴的对称点，直线A1P1与A2P2相交于点E. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求点E的轨迹方程．
S? 解：
（Ⅰ）由题意得：c=1，
96??1 ① a2?b2?1 ② 224ab····················3分
x2y2??1·由①、②得a?9,b?8 所以所求椭圆的标准方程为··········6分 9822（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1??3,0?,A2?3,0?，设P1?x0,y0?,则P2?x0,-y0? 所以P1A1方程为:y?y0y?x?3?,P2A2的方程为：y?-0?x-3? x0?3x0?3y02两式相乘得：y??2x2?9? ?x0?92x02y02y028由于点P在椭圆上，所以代入上式得 ??1???x,y??10098x02?99x2y2??1····················13分 98
21.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e =
2
，椭圆上的点到焦点的最短2
距离为1-
2
, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且2
AP ＝?PB．
（1）求椭圆方程；
yT（2）若AOFBlx第18题图，求m的取值范围．
y2x22c2222
（1）设C：2＋2＝1（a>b>0），设c>0，c＝a－b，由条件知a-c＝，＝，
ab2a2
2x2
∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y＋＝1 5′
21
2→→
（2）由AP ＝λPB ，OA＋?OB ＝ 4OP
→→
∴λ＋1＝4，λ＝3 或O点与P点重合OP =0 7′ →→
当O点与P点重合OP =0 时，m=0
当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
?y＝kx＋m?
?2
2
??2x＋y＝1
2
2
得（k＋2）x＋2kmx＋（m－1）＝0
2
2
2
2
222
Δ＝（2km）－4（k＋2）（m－1）＝4（k－2m＋2）>0 （*） －2kmm－1x1＋x2＝2， x1x2＝2 11′
k＋2k＋2
??x1＋x2＝－2x2→
∵AP＝3PB ∴－x1＝3x2 ∴?2
??x1x2＝－3x2
22
2
－2km2m－1
消去x2，得3（x1＋x2）＋4x1x2＝0，∴3（2）＋42＝0
k＋2k＋2整理得4km＋2m－k－2＝0 13′ 112－2mm＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝2，
444m－1
2
2
22
2
2
2－2m11
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k＝2>0，∴－1 4m－122 2 2 容易验证k>2m－2成立，所以（*）成立 11 即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝ 22 222．设抛物线M方程为y?2px(p?0)，其焦点为F，P（a,b)（a?0)为直线y?x与 22 抛物线M的