一个交点，|PF|?5 （1）求抛物线的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得?QAB
为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 解
：
（
1
）
y Q B O F A x ?y?x?x?2p?x?0??或??2y?2p?x?0?y?2px?（舍去）
?P(2p,2p)
?|PF|?5
?2p?p?52
?p?2
?抛物线的方程为y2?4x--5分
（2）若直线l的斜率不存在，则Q只可能为(?1,0)，此时?QAB不是等边三角形，
舍去，--7分
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)（k?0），设直线l与抛物线的交点坐标为A（x1,y1）、B（x2,y2）
??y?k(x?1)2?y?4x?k2x2?(2k2?4)x?k2?0，x1?x2?2?4 2k设存在Q(?1,m)，AB的中点为M(1?有题意可知：
22,)，设Q到直线l的距离为d 2kk?2?k?m1????①?2k??2---10分 ?k2??d?3|AB|?|2k?m|?3|4?4|??②?22k2k2?1? 由①可得：m?2?4/k------③ k3242316(k2?1)22③代入②得：(2k?3?)?(k?1)??，
kk4k414(k2?1)4(k2?1)32?k??12化简得：----14分，?m??82 642kk?Q(?1,?82)为所求点-----15分
23.已知点R(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足2PM?3MQ?0,RP?PM?0.
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A(x1,y1)、B(x2,y2)为轨迹C上两点，且x1>1, y1>0,N(1,0)，求实数?，使
AB??AN，且AB?16. 3yx),Q(,0). …………2分 23解：（Ⅰ）设点M(x,y)，由2PM?3MQ?0得P(0,? 由RP?PM?0,得(3,?y3y)?(x,)?0，即y2?4x. …………… 4分 22 又点Q在x轴的正半轴上，∴x?0.故点M的轨迹C的方程是
y2?4x(x?0). …………………………………………………………6分
（Ⅱ）由题意可知N为抛物线C：y?4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物
线C的两个交点,所以直线AB的斜率不为0. ……………………………………7分 当直线AB斜率不存在时，得A(1,2),B(1,?2),AB?4?216，不合题意； ……8分 32 当直线AB斜率存在且不为0时，设lAB:y?k(x?1)，代入y?4x得 kx?2(k?2)x?k?0，
22222(k2?2)4162?2?4??k?3. …………9分 则AB?x1?x2?2?，解得223kk2 代入原方程得3x?10x?3?0，由于x1?1，所以x1?3,x2?1，由AB??AN, 3 得??x2?x144∴??. ……………………………………………………12分 ?，
31?x137,|BC|?2，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的224.如图，在?ABC中，|AB|?|AC|?中点P.
（1）求椭圆的标准方程；
22（2）过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E:(x?1)?y?2 相交于M、N两点，试
探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由.
y
A P
B O C
解（1）∵|AB|?|AC|?x 7,|BC|?2∴|BO|?|OC|?1, 2|OA|?|AC|2?|OC|2?4935 ?1?42∴B(?1,0),C(1,0),A(0,依
椭
35135)∴P(,) 224圆
的
定
义
有
：
971351352222???4 2a?|PB|?|PC|?(?1)?(?0)?(?1)?(?0)442424∴a?2， 又c?1，∴b2?a2?c2?3
x2y2∴椭圆的标准方程为??1……………………………………………7分
43（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程， 也可以给满分.）
椭圆的右顶点A1(2,0)，圆E圆心为E(1,0)，半径r?2. 假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧， 则?MEN?90?，圆心E(1,0)到直线l的距离d?当直线l斜率不存在时，l的方程为x?2， 此时圆心E(1,0)到直线l的距离d?1（符合）
当直线l斜率存在时，设l的方程为y?k(x?2)，即kx?y?2k?0， ∴圆心E(1,0)到直线l的距离d?2r?1 2|k|k?12?1，无解
综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时l方程为x?2 25.如图所示，F是抛物线y2?2px(p?0)的焦点，点A(4,2)为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，PA?PF的最小值为8.
（1）求抛物线方程；
（2）若O为坐标原点，问是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线交于B,C两点，且以BC为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点
y P A(4,2) x M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：设抛物线的准线为l，过P作PB?l于B，过A作AC?l于C， （1）由抛物线定义知
O F PF?PB
B y P A(4,2) x ?PA?PF?PA?PB?AC(折线段大于垂线段)，当且仅C O F AC?8当A,P,C三点共线取等号.由题意知,即4?p?8?p?822?抛物线的方程为：y?16x 5分
（2）假设存在点M，设过点M的直线方程为y?kx?b，
显然k?0，b?0，设B(x1,y1)，C(x2,y2)，由以BC为直径的圆恰过坐标 原点有OB?OC?0?x1x2?y1y2?0 ① 6分
2222y?kx?by?16xkx?2(bk?8)x?b?0 把代人得
2(bk?8)?x?x??12??k2?2b?xx?12?k2?由韦达定理 ② 7分
又 y1y2?(kx1?b)(kx2?b)?kx1x2?bk(x1?x2)?b ③
22②代人③得
y1y2?16bk ④
16bb2?2?0?b??16kkk②④代人①得
?动直线方程为y?kx?16k?k(x?16)必过定点(16,0) 10分
当
kBC不存在时，直线x?16交抛物线于B(16,?16),C(16,16),仍然有OB?OC?0，
综上：存在点M(16,0)满足条件 12分 注：若设直线BC的方程为x?my?b可避免讨论.
x2y226.已知椭圆2?2?1(a?b?0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3?22，ab3?22。
（1）求椭圆的方程；
(3,0)，证明直线CA与直线（2）如果直线x?t(t?R)与椭圆相交于A,B，若C(?3,0),DBD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值。
??a?3?a?c?3?22???解：（1）由已知? ??a?c?3?22?c?22?b2?a2?c2?1………………………3分
x2?y2?1。………………………5分 所以椭圆方程为9t22（2）依题意可设A(t,y0),B(t,?y0),K(x,y)，且有?y0?1
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