３）Ａ，Ｂ，Ｃ对立事件是什么？
4 ）A与B的和事件，积事件，差事件各是什么？
摸到球的号码为i?,i?1,2,3 解：设?i???1,?2,?3?； 1） 则Ｅ的样本空间为????1,?3?，C???3? ?1,?2?，B??2） A??Ａ与Ｂ，Ｂ与Ｃ是相容的，Ａ与Ｃ互不相容；
?3?，B???2?，C???1,?2?； 3） A???1?，A?B???2?。 4） A?B??，AB??四.事件域
事件是?的子集，如果事件的这些子集归在一起，则得到一个类， 称作事件域，记作F。即F??A:A??,A为事件?
? ?,?为事件
∴ ??F，??F
因为我们讨论了事件间的运算 “?” “?” 和 “-”, 如果A，B都是事件，即A, B?F ，自然要求A?B ,A?B,A-B 也是事件，因此，若 A?F， B ?F 就要求A?B ?F ，A?B ?F ，A-B?F 。
用集合论的语言来说，就是事件域 关于运算 “?” “?” 和 “-” 是封闭的，
事件域 应该满足如下要求： 是1）??F ；
2）若A?F， 则A?F ；
?Aii? 3）若 F,=1,2,3…….n. 则i?1nAi?F 。
在集合论中，满足上述三条件的集合类称为布尔代数（?代数）
所以事件域是一个布尔代数，对于样本空间 ?，如果F是?的一切子集的全体，那么显然F是一个布尔代数。
§1.2 概率与频率
一． 概率与频率的概念
对于随机试验中的随机事件，在一次试验中是否发生，虽然不能预先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性是有大小之分的。比如掷一枚均匀的硬币，那么随机事件A（正面朝上）和随机事件B（正面朝下）发生的可能性是一样的（都为1/2）。又如袋中有8个白球，2个黑球，从中任取一球。当然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，对于任何一个随机事件都可以找到一个数值与之对应，该数值作为发生的可能性大小的度量。
定义1.1:随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为A发生的概率，记为P（A）。
对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量是自身决定的，并且是客观存在的。概率是随机事件发生可能性大小的度量是自身的属性。一个根本问题是，对于一个给定的随机事件发生可能性大小的度量——概率，究竟有多大呢？
再来看，掷硬币的试验，做一次试验，事件A（正面朝上）是否发生是不确定的，然而这是问题的一个方面，当试验大量重复做的时候，事件A发生的次数，也称为频数，体现出一定的规律性，约占总试验次数的一半，也可写成
fn(A)=A发生的频率=频数/试验总次数 接近与1/2 一般的，设随机事件A在n次试验中出现nA次，比值
fn(A)= nA/n 称为事件A在这n次试验中出现的频率 历史上有人做过掷硬币的试验 实验者 蒲丰 n 4040 nA 2048 6019 12012 fn(A) 0.5070 0.5016 0.5005 K．皮尔逊 12000 K．皮尔逊 24000 从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，fn(A)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定与0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件A，在n次试验中出现的频率fn(A)，当试验的次数n逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定与这个常数。这个常数是客观存在的，“频率稳定性”的性质，不断地为人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。
nlimA?P(A)n??n试判断“频率的极限就是概率”这句话是否正确？即吗
nlimA?P(A)不正确 由?-N定义，若n??n成立
nA?P(A)?????0,?N?0,?n?N?n则
nA?P(A)???n?N而频率具有随机性，，并不能保证n恒成立。 例如，当nA?n时，取??1?P?A?，上述不等式就不成立。
因此，在概率论与数理统计中不能沿用数学分析中的一般极限定义了。 二、频率的性质
nA由频率的定义 fn(A)=n，0?nA?n,很快可以得到频率的性质， 1、非负性： fn(A)?0；
2、规范性： 若?为必然事件，则fn(?)=1；
3、有限可加性： 若A,B互不相容即AB=?,则fn?A?B?=fn(A)+fn(B)。 n?nA?nB
由这三条基本性质，还可以推出频率的其它性质： 4、不可能事件的频率为0， fn(?)=0；
5、若A?B，则fn(A)?fn(B)，由此还可以推得fn(A)?1；
AiAj??（1?i,j?m 6、对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，即若nmf(?A)?f(A)i?j）, 则ni?1i=i?1ni。
三、概率的性质
由于概率是频率的稳定值，因此频率具有的性质，概率也应有相应的性质： 1、非负性:P(A)?0； 2、规范性:P(?)?1。
注意：性质2反过来不一定成立。就是说概率为1的事件不一定为必然事件。同样，概率为0的事件不一定为不可能事件，这方面的例子在下一章再举。
?1,2,3，…，n，且AiAj??(i?j)， 则 3、有限可加性:若Ai?F，innP(?)Ai??P(Ai)i?1i?1
即有限个互不相容的事件的和事件的概率等于这些事件的概率之和。 因A?A??，A?A??，从而有P(A)?P(A)=1。
由此可知，给定一个随机事件，也就确定了一个样本空间?、事件域F和概率P其中F是一个 布尔代数，P是定义在F上的一个非空、规范的有限可加集函数。
§1.3 古典概型
先讨论一类最简单的随机试验，它具有下述特征：
1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个，不妨设为n个，记为?1，?2，…，
?n；
2）每个基本事件出现的可能性是相等的，即有P(?1)?P(?2)?…=P(?n)。
称这种数学模型为古典概型。
它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。
对上述古典概型，它的样本空间????1，?2，…，?n?，事件域F为?
n的所有子集的全体，这时连同?，?在内，F中含有2个事件，并且从概率论的有限可加性知1=P(?)?P(?1)?P(?2)?…?P(?n)
1于是 P(?1)?P(?2)?…=P(?n)=n
?A?F，若A是k个基本事件之和，即
A=?i1??i2?…??ik
kA包含的基本事件数A包含的有利场合数??P(A)基本事件总数基本事件总数。 则 =n所以在古典概型中，事件A的概率是一个分数，其分母是样本点（基本事件）总数n，而分子是事件A包含的基本事件数k。
例如：将一枚硬币连续掷两次就是这样的试验，也是古典概型，它有四个基本事件，（正、正）， （正、反）， （反、正），（反、反），每个基本事件出现的
1可能结果都是4。
但将两枚硬币一起掷，这时试验的可能结果为（正、反），（反、反），（正、
2正）但它们出现的可能性却是不相同的，（正、反）出现的可能性为4，而其它
1的两个事件的可能性为4。
它不是古典概型，对此历史上曾经有过争论，达朗贝尔曾误为这三种结果的出现是等可能的。
判别一个概率模型是否为古典概型，关键是看“等可能性”条件满不满足。而对此又通常根椐实际问题的某种对称性进行理论分析，而不是通过实验来判断。
由古典概型的计算公式可知，在古典概型中，若p(A)=1,则A=?。同样，若
P?A??0，则A??。