则该数的最后一位数字必须是1，设最后的第二位数字是a,那么该数立方的最后两个数字为1和3a个个位数，要使13a的个位数为1，必须a=7，应而A包含的样本点只有71这一点，故P(C)=100。
§1．4概率的公理化定义及概率的性质
一、几何概率
一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间?,文件域 F 和概率P已在前面得到解决。在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。例如，若我们在一个面积为S?的区域?中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域?中有任意一个小区域A，若它的面积为SA, 则点A落在A中的可能性大小与SA成正比，而与A的位臵及形状无关。如果点A落在区域ASA这个随机事件仍记为A，则由P(?)=1可得 P(A)=S?, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。 解：以x和y分别表示甲乙约会的时间，
则0?x?60,0?y?60。 两人能会面的充要条件是
x?y?15
在平面上建立直角坐标系（如图）
则（x,y）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。这是一个几何概率问题，
SA602?45272由等可能性 P(A)=S?=60=16 。
例2 蒲丰（Buffon）投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l
解：假设x表示针的中点与最近一条平行线的距离，
又以?表示针与此直线间的交角，有 a0?x?2，0????
由这两式可以确定x,?平面上的一个矩形?，
?a??????,x?0????,0?x??2? ?lx?sin?2这时为了针与平行线相交，其条件为 由这个不等式表示的区域A是图中的阴影部分
?la?A????,x?x?sin?,0?x???l22???02 sin?d?SA2la?2 由等可能性可知P(A)=S?==?a
若l,a 为已知，则以?值代入上式，即可计算得P（A）的值。反过来，若已知P（A）的值，也可以用上式去求?，而关于P（A）的值，可以用频率去近
n2lN?na。似它。如果投针N次，其中针与平行线相交n次，则频率为N， 于是 ? 这是一个颇为奇妙的方法，只要设计一个随机实验。使一个事件的概率与某一未知数有关，然后通过重复实验，以频率近似概率即可以求未知数的近似数。当然实验次数要相当多，随着计算机的发展。人们用计算机来模拟所设计的随机实验。使得这种方法得以广泛的应用。将这种计算方法称为随机模拟法，也称为蒙特—卡洛法。
几何概率的意义及计算，与几何图形的面积，长度和体积（刻度）密切相关，因此所考虑的事件应是某种可定义测度的集合，这类集合的并、交，也应该是事件。甚至对他们的可列次并，交也应该有这个要求。例如在[0，1]中投一点的随?11?1?2n?1,2n?A?机实验，若记A为该点落入[0，2]中这个事件 ，而以n记该点落在?nAi?中这一 事件。N=1，2，3……则A= i?1。
n 如果所投点落入某区域的概论等于该区间的长度，则 P(Ai)? P(A)= i?1
这里碰到事件及概率的可列运算
综上所述，几何概率应具有如下性质： i) ii)
对任何事件A，P（A）?0 P（?）=1
2…….两两互不相容，则 iii) 若A1，AnnP(?Ai)?P(Ai) i?1= i?1
前两个性质与古典概型相同，而有限可加性，则可推广到可列个事件成立，这个性质称为可列可加性。 二、概率的公理化定义
到二十世纪，概率论的各个领域已经得到了大量的成果，而人们对概率论在其他基础学科和工程技术上的应用已出现了越来越大的兴趣，但是直到那时为止，关于概率论的一些基本概念如事件，概率却没有明确的定义，这是一个很大的矛盾，这个矛盾使人们对概率客观含义甚至相关的结论的可应用性都产生了怀疑，由此可以说明到那时为止，概率论作为一个数学分支来说，还缺乏严格的理论基础，这就大大妨碍了它的进一步发展。
十九世纪末以来，数学的各个分支广泛流传着一股公理化潮流，这个流派主长将假定公理化，其他结论则由它演绎导出，在这种背景下，1933年俄国数学家柯尔莫哥洛夫在集合与测度论的基础上提出了概率的公理化定义这个结构综合了前人的结果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支。对近几十年来概率论的迅速发展起了积极的作用，柯尔莫哥洛夫的公里已经广泛地被接受。
在公理化结构中，概率是针对事件定义，即对于事件域F中的每一个元素A有一个实数P（A）与之对应。一般的把这种从集合到实数的映射称为集合函数。因此，概率是定义在事件域F上的一个集合函数。此外在公理化结构中也规定概率应满足的性质，而不是具体给出它的计算公式或方法。
概率应具有什么样的性质呢？经过概率与频率之间的关系、古典概型，几何概型的分析可知，概率应具有非负性、规范性、可列可加性。
从而有如下定义：
定义：定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率。如果它满足如下三个条件： 1． 非负性：?A?F，P(A)?0； 2．规范性：P(?)=1；
3． 可列可加性：若Ai?F ，i?1,2,?且两两互不相容。有通过描述一个随机试验的数学模型，应该有几样东西
1）样本空间 ；2）事件域（?-代数）F； 3）概率（F上的规范测度）P习惯上常将这三者写成（?, F, P ），并称它是一个概率空间。由此，给出一个随机实验，数量就可以把它抽象成一个概率空间（?,F , P）。 三、概率的性质
由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性质： 1） 不可能事件的概率为0，即P（?）=0；
2） 概率具有有限可加性： 即若AiAj= ?（1?i?j?n）， nnP(?Ai)?P(Ai)则i?1=i?1； 3） 对任一随机事件A，有 P（A）=1-P（A）； 4） 若A ?B 则P(A-B)= P(A)-P(B)。 证：?A ?B，则A=B+(A-B)
又B?A(A-B)=?
? P(A)=P(B)+P(A-B)
P(?Ai)i?1n=
?P(A)ii?1n
即 P(A-B)= P(A)-P(B) 推论1：若A?B,则P(A)?P(B)； 推论2：对任一事件A,P(A)?1；
推论3：对A，B?F,则P(A-B)= P(A)-P(AB)。
5）对任意两个事件A、B，有P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB) 推论1：P(A?B)?P(A)+P(B)；
An为n个随机事件，则有 A1，A2，?推论2nnnn：设n?n?1?AP(?Ai)?Ai??P(AiAj)??P(AiAjAk)?????1?P???i??1?i?j?n1?i?j?k?ni?1?? i?1i?1=
此公式称为概率的一般加法公式。 特别地：
C)=P(A)+P(B)+P(C)- P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) P(A?B?nP(?Ai)?推论3：i?1P(A1)+P(A2)+P(A3)+…… +P(An)。
从性质2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般来说由有限可加性并不能推出可列可加性，这两者之间的差异可以用另一个形式来描述。
设An?F（n=1,2,3……） 且 An?An?1 则称{An}是F中的一个单调不减的集合序列。
定义：对于F上的集合函数P，若对F中的任一单调不减的集合序列{?An}有limP(An)P(limAn)limAn?Ann??=n??，则称集合函数P在F上是下连续的，其中n??=n?1
类似可定义上连续性
定理1：若P是F上非负的、规范的集函数。则P具有可列可加性的充要条件是 1） 2）
P是有限可加的；
P在F上是下连续的，亦称为连续性公理 定理的证明可参见复旦大学概率论第一册P50
例1：设A，B互不相容，且P（A）=p，P（B）=q 试求P(A?B),P(A?B),P(AB),P(AB),P(AB) 解： P(A?B)=P(A)+P(B)=p+q
P(A?B)=P(A)=1-p P(AB)=0
P(AB)=P(B-A)= P(B)-P(AB)=q P(AB)=1- P(A?B)=1-p-q
例2：设P（A）=p，P（B）=q，P(A?B)=r，求P（AB）、P(AB)、P(A?B) 。 解： P（AB）=P（A）+P（B）-P（A?B）=p+q-r
P(AB)=P(A)-P(AB)=p-(p+q-r)=r-q P(A?B)=P(AB)=1-P(AB)=1-p-q+r
例3．设ABC为三个事件，且AB?C。证明P（A）+P（B）-P（C）?1 证： P（A?B）=P（A）+P（B）-P（AB）