不难验证，古典概型具有非负性、规范性和有限可加性。
利用古典概型的公式计算事件的概率关键是要求基本事件总数和A的有利事件数，则需要利用数列和组合的有关知识，且有一定的技巧性。 （一）
摸球问题
例1. 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中任取两个。问取出的两个球都是白球的概率？一白、一黑的概率？
分析：说明它属于古典概型，从5个球中任取2个，共有C种不同取法，可以将每一种取法作为一个样点。则样本点总数C是有限的。由于摸球是随机的，因此样本点出现的可能性是相等的，因此这个问题是古典概型。
2525?，B=?取到的两个球一白一黑? 解：设A=?取到的两个球都是白球 基本事件总数为C
C32P?A??22C5 A的有利事件数为C3, 11C3C2??PA?11CC52。 3B的有利事件数为C2，
由此例我们初步体会到解古典概型问题的两个要点：
1.首先要判断问题是属于古典概型，即要判断样本空间是否有限和等可能性； 2.计算古典概型的关键是“记数”，这主要利用排列与组合的知识。
在古典概型时常利用摸球模型，因为古典概型中的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述，若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模型就可以描述产品的抽样检查问题，假如产品分为更多等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述。
例2：在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2，3，……，9，10，从中任摸一球，求此球的号码为偶数的概率。
25i? i?1,2,?,10 解一：令i??所取的球的号码为1,2.....10? 故基本事件总数n=10 则 ????, 因而A含有5个基本事件 令 A=?所取球的号码为偶数51?P(A)??102
?， 则A=?所取球的号码为奇数? 解二：令 A=?所取球的号码为偶数1?p(A)?2 因而 ??A,A,
??此例说明了在古典概型问题中，选取适当的样本空间，可使我们的解题变的简洁。
例3：一套五册的选集，随机地放到书架上，求各册书自左至右恰好成1，2，3，4，5的顺序的概率。
解：将五本书看成五各球，这就是一个摸球模型， 基本事件总数5！
各册自左向右或成自右向左恰好构成1，2，3，4，5顺序? 令 A=?21?P(A)??5!60 A包含的基本事件数为2，
例4：从52张扑克牌中取出13张牌来，问有5张黑桃、三张红心、3张方块、2张草花的概率是多少？ 解：基本事件数为：C52
令A表示13张牌中有5张黑桃、3张红心、3张方块、2张草花
2533CC?C?C?13131313A包含的基本事件数为： 5332C13C13C13C1313C52?P(A)=?0.01293。
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（二）、分房问题
例5：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率： 1）A=?指定的n个房间各有一人住
?；
?。
2）B=?恰好有n个房间，其中各有一人住
解：因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每间房住多少人），所以n个人住的方式共有N种，它们是等可能的。
1）n个人都分到指定的n间房中去住，保证每间房中个有一人住；
第一人有n 分法，第二人有n-1种分法，……最后一人只能分到剩下的一间房中去住，共有 n(n-1)…….21种分法，即A含有n！个基本事件： n! ?P(A)=Nn
2）n个人都分到的n间房中，保证每间只要一人，共有n!种分法，而n间房未
nnCCNN指定，故可以从nN间房中任意选取，共有 种取法，故B包含了种取法。
CNn!?P(B)=Nn，又如在掷骰子试验中“出现一点”。
n注意：分房问题中的人与房子一般都是有个性的，这类问题是将人一个个地往房间里分配，处理实际问题时要分清什么是“人”，什么是“房子”，一般不可颠倒，常遇到的分房问题有：
n个人相同生日问题，n封信装入n个信封的问题（配对问题），掷骰子问题等，分房问题也称为球在盒子中的分布问题。
从上述几个例子可以看出，求解古典概型问题的关键是在寻找基本事件总数和有利事件数，有时正面求较困难时，可以转化求它的对立方面，要讲究一些技巧。
例6：某班级有n个人（n<365）问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？ 解：假定一年按365天计算，将365天看成365个“房间”，那么问题就归结为摸球问题；
至少有两个人的生日在同一天? 则A的情况比较复杂（两人、三人……令 A=?在同一天），但A的对立事件 A??n个人的生日全不相同问题中的2）“恰有n个房间，其中各住一人”； nN!CNn!?P(A)?Nn=Nn(N?n)! (N=365)
? P(A)?P(A)?1
N!nN(N?n)!(N=365) P(A) ∴=1-
?,这就相当于分房
这个例子就是历史上有名的“生日问题”，对于不同的一些 n值，计算得相应的P(A) 如下表：
ｎ １０ ２０ ２３ 0.41 0.51 ３０ 0.71 ４０ 0.89 ５０ 0.97 Ｐ（Ａ） 0.12 表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97％ 的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97％ 都是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力的说明
了研究随机现象统计规律的重要性。
例7：在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？
解：此时将０－９这10个数子看成“房子”，电话号码看成“人”，这就可以归结为“分房问题（2）”。
令 Ａ＝?取到的号码有由完全不同的数字组成7P107则P(A)＝10
?
当然这个问题也可以看成摸球问题，将这十个数字看成10个球，从中有放回的取7次，要求7次取得的号码都不相同。 （三）、随机取数问题
例8：从1，2，3，4，5这五个数中等可能地、有放回的连续抽取3个数字，试求下列事件的概率： A= ?三个数字完全不相同
P533330.48 解：基本事件数为：5， A的有利事件数为P5， 故P(A)＝5＝3333 B的有利事件数为3（三个数只能出现2，3，4），故P(B)＝5＝0.216
2C三个数字中5恰好出现两次，可以是三次中的任意两次，出现的方式为3?；
B= ?三个数字中不含1和5?；
C= ?三个数字中5恰好出现了两次?； D= ?三个数字中至少有一次出现5?。
1P4种，剩下的一个数只能从1，2，3，4中任意选一个数字，有种选法，故C的
C32P4112213C有利事件数为3P4，故 P(C)=5=125
事件D 包含了5出现了一次，5出现两次，5出现三次三种情况
11222133C1(P)C1PC3434+31 D 的有利事件数为：+133C31(P41)2?C3212P41?C31?0.48835 故P(D)=。
或可以转化为求D的对立事件D的概率
D=?三个数字中5一次也不出现
?说明三次抽取得都是在1，2，3，4中
4343任取一个数字，故含有4个基本事件P(D)=1-P(D)=1-5=0.488。
例9：在0,1,2,?,9这十个数字中无重复地任取4个数字，试求取得的4个数字能组成四位偶数的概率。
解：设 A=?取得的4个数字能组成四位偶数
?
44PP1010 从10个数中任取4个数字进行排列，共有种排列方式，所以共有个
基本事件。
3P下面考虑A包含的基本事件数，分两种情况考虑一种是0排在个位上，有912P41P8P8种，所以A包含的基本事件数为3112种选法，另一种是0不排在个位上，有P9?P4P8P8414P93+P41P81P82，故P(A)=P10=90?0.4556
或先从0，2，4，6，8这5个偶数中任选一个排在个位上，有P5种排法，
3P9然后从剩下的9 个数字中任取3个排在剩下的3个位臵上，有种排法,故个位31P?P59上是偶数的排法共有种，但在这种四个数字的排列中包含了“0”排在首
1位的情形，故应除去这种情况的排列数。
32111P?PPPP598故A的有利场合数为：-41
例10：任取一个正整数，求该数的平方数的末位数字是1的概率。
分析：不能将正整数的全体取为样本空间，这样的样本空间是无限的，谈上不等可能的。
解：因为一个正整数的平方的末位数只能取决于该正整数的末位数，它们可以是0，1，2……，9这十个数字中的任一个，现任取一个正整数的含义，就是这十个数字等可能地出现的，换句话说，取样本空间???0,1,2,?,9?。
记 A=?该数的平方的末位数字是1
?
那么A包含的基本事件为2，A=?1,9
21?105； 故P(A)=
?，
?，
该数的四次方的末位数字是1 , 则B=?1,3,7,942?105； P(B)=
C= ?该数的立方后的最后两位数字都是1
?
一个正整数的立方的最后两位数字取决于该数的最后的两位数字，所以样本空间含有10个样本点。
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