B= ?他属于容易出事故的人四、贝叶斯公式
?
在上面的计算中，事实上已经建立了一个极为有用的公式：
B1,B2…….是一列互不相容的事件，且 n定理2：若Bi?P(Bi)P(ABi)Bi?1,2.......i?i?1 =,P()>0, ?P(Bj)P(ABj)?BA则对任一事件A,P(A)>0有P (i)=j?1
贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着多方面的应用，假定B1,B2…… 是导致试验结果的“原因”,P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性的大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件A，这个信息将有助与探讨事件发生的“原因”，条件概率P(ABi)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了B1,B2,?中的那一种病，对病人进行观察与检查，确定了某个指标 （譬如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指标来帮助诊断，这时可以用贝叶斯公式来计算有关概率，首先必须确定先验概率P(Bi)这实际上是确定患各种疾病的大小，以往的资料可以给出一些初步数据（称为发病率），其次要确定P(ABi)这当然要依靠医学知识，一般地，有经验的医生P(ABi)掌握得比较准，从概率论的角度P (BiA)的概率较大，病人患Bi种病的可能性较大，应多加考虑，在实际工作中检查指标A一般有多个，综合所有的后验概率，会对诊断有很大的帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这种方法是实用价值的。
例7：用甲胎蛋白法普查肝癌，令C=?被检验者患肝癌
A=?甲胎蛋白法检查结果为阳性则 C= ?被检验者未患肝癌
A??
? ?
AC?
)=0.90
?甲胎蛋白法检查结果为阴性
由过去资料 P(AC)=0.95, P(
又已知某地居民的肝癌发病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲胎蛋白检查结果为阴性的人，求这批人中患有肝癌的概率P(CA)。 解：由贝叶斯公式
53530.0004?0.95P(C)P(AC)?P(C)P(AC)0.0004?0.95?0.9996?0.1?0.0038CAP ()==
P(C)P(AC)由此例可知道，经甲胎蛋白法检查结果为阳性的人群中，其实真正患肝癌的人还是很少的，（只占0.38%），把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95及 P(=0.90对比一下是很有意思的。
因此，虽然检验法相当可靠，但是被诊断为肝癌的人确实患肝癌的可能性并不大。
AC)
§1.6独立性
一、 独立性概念 1、 两个事件的独立性
例1、 设袋中有五个球（三新两旧）每次从中取一个，有放回地取两次，记 A=｛第一次取得新球｝ B=｛第二次取得新球｝。 求：P(A), P(B), P(B|A)。 3解：显然 P(A)=5 P(B)= P(B|A)=
P(B|A)= P(B) 由此可得P(AB)= P(A) P(B)。
定义：设 A、B ?F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。
依这个定义，必然事件?与不可能事件?与任何事件都相互独立的，因为必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何事件的影响，也不影响其它事件是否发生。
例2：分别掷两枚均匀的硬币，另A=｛硬币甲出现正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件A,B是相互独立的。
验证： Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝
A=｛（正、正）（正、反）｝ B=｛（反、正）（正、正）｝ AB=｛（正、正）1｝
1P(A)=P(B)=2 P(AB)= 4= P(A)P(B)
所以A、B是相互独立的。
实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的”相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响，因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠。
例3：一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的， 令A=｛一个家庭中有男孩，又有女孩｝， B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝ 对下述两种情形，讨论A和B的独立性。
1）家庭中有两个小孩 ； 2）家庭中有三个小孩。 解：1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为：
Ω=｛（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）｝ A=｛（男、女），（女、男）｝
B=｛（男、男）（男、女）（女、男）（男、女），（女、男）｝ 1，3，1｝ AB=｛于是P(A)=2, P(B)=4, P(AB)=2 由此可知P(AB)?P(A) P(B) 所以 A与B 不独立。
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女、男、女），（女、女、女）｝。
1由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是8， 这时A包含了6个基本
事件，B包含了34个基本事件， 6AB3包含了3个基本事件41??88482 P(AB)= P(A)= P(B)=
显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立。 2、 多个事件的独立性； 定义2、设三个事件A,B,C满足
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。
由三个事件的独立性可知，若A、B、C两两相互独立，反之不一定成立。 例4.一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色第四面上同时染上红、黑、白三色，以A、C分别记投一次四面体，出现2B、1?42 红、白、黑颜色的事件，则P(A)=P(B)=P(C)=14 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1P(ABC)=4
故A、B、C两两相互独立
但不能推出P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
同样地 由P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能推出A、B、C两两相互独立。 定义3.对n个事件A1,A2,?，An若对于所有可能的组合1?i?j?k?????n
有 P(AiAj)=P(Ai)p(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)p(Aj)p(Ak)
??……
P(A1A2???An)=P(A1)p(A2)???p(An) 则称A1,A2???An相互独立。
nn个事件相互独立，则必须满足2?n?1个等式。
显然n个事件相互独立，则它们中的任意m（2?m?n）个事件也相互独立。 二、独立性的性质
定理1四对事件{A、B}，{A,B}，{A，B}、{A、B}中有一对相互独立，则其它三对也相互独立。
定理2 设A1,A2,???,An相互独立，则将其中任意m个（1?m?n）换成其对立事件，则所得n个事件也相互独立。特别地，若A1,A2???An相互独立，则A1,A2,???An也相互独立。 三、独立性的应用
1、相互独立事件至少发生其一的概率的计算 设A1,A2???An相互独立，则
P(A1?A2?????An)=
1-P(A1?A2????An)=1-P(A1A2???An)=1-P(A1)P(A2)???P(An) 这个公式比起独立的场合，要简便的多，它简便的多，它经常用的到
例6.假若每个人血清中含有肝炎病的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？
解：设Ai={第I个人血清中含有肝炎病毒} i?1,2,?,100
可以认为A1,A2???A100相互独立，所求的概率为
P(A1?A2?????A100)=1-P(A1)P(A2)???P(A100)=1-0.996100=0.33
虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后，则有很大的概率，在实际工作中，这类效应值得充分重视。
例7.张、王、赵三同学各自独立地去解一道数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求（1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率。 解：设Ai（i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学解出难题这三个事件， 由题设知A1,A2,A3相互独立。
（1） 令A={三人中恰有一人解出难题}
则A=A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
P(A)=
P(A1A2A3)=P(A1A2A3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+
11111111113(1?)(1?)?(1?)?(1?)?(1?)(1?)??P(A1)P(A2)P(A3)=53453453430。 (2)令B={难题解出}
11131?(1?)(1?)(1?)?P(B)?P(A1?A2?A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=5345 。
2、在可靠性理论中的应用
对于一个电子元件，它能正常工作的概率p，称为它的可靠性，元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，随着近代电子技术组成迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科------可靠性理论.概率论是研究可靠性理论的重要工具。
例8.如果构成系统的每个元件的可靠性均为r,0