又AB?C 所以P（AB）?P（C）
所以P（A）+P（B）-P（C）?P（A?B）?1
即P（A）+P（B）-P（C）?1
11例4：设P（A）=P（B）=P（C）=8。P（AB）=4。P（BC）=P（AC）=0
求A，B，C至少有一个发生的概率。
解： P（A?B?C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）
因为ABC?BC 所以0?P（ABC）?P（BC） 所以P（ABC）=0
从而P（A?B?C）=1/8+1/8+1/8-1/4=1/8
例5：设A，B，C为任意三个事件，证明P（AB）+P（AC）-P（BC）?P（A） 证： A?A?(B?C)
所以P（A）?P(A?(B?C))=P(AB?AC) =P(AB)+P(AC)-P(ABC) 又P（ABC）?P(BC)
所以P（AB）+P（AC）-P（BC）?P（A）
例6：某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意将n张信纸装入n个信封中问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少？ 解： 令 Ai={第i张信纸恰好装进第i个信封},i=1，2，3…n
则P(Ai)=1/n i?1P(Ai)=1
?N112? P(AiAj)=1/n(n-1) i=1,2?,.n 1?i?j?nP(AiAj)=Ccn(n?1)=2!
11P(AAA)?ijk3 同理得1?i?j?k?n=Cnn(n?1)(n?2)=3!
??……
11n P（A1A2…An）=Cnn!=n!
由概率的一般加法公式有 nnP(Ai)??P(AiAj)?Ai??n?1
1?i?j?n P（i?1）=i?1…（-1）P（A1A2…An）
111??n?1
=1-2!3!…+（-1）n! 当n充分大时，它近似于是1-e
?1这个例子就是历史上有名的“匹配问题”或“配对问题”。
§1、5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
一． 条件概率
前面讨论了事件和概率这两个概念，对于给定的一个随机试验，要求出一个指定的随机事件A?F 的概率P(A),需要花很大的力气，现在将讨论继续引入深入，设两个事件A，B?F 则有加法公式 P（A?B）=P（A）+P（B）-P（AB）。
特别地，当A，B为互不相容的两个事件时，有 P（A?B）=P（A）+P（B）此时有P（A）及P（B）即可求得 P（A?B），但在一般情形下，为求得P（A?B）还应该知道P（AB）。因而很自然要问，能不能通过P（A），P（B）求得P（AB），先看一个简单的例子。
例1． 考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别分别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。
若记A=“随机抽取一个这样的家庭中有一男一女”，﹜ 12则P（2A）=但如果我们事先知道这个家庭至少有 一个女孩，则上述事件的概率为3。
这两种情况下算出的概率不同，这也很容易理解，因为在第二种情况下我们多知道了一个条件。记B=“这个家庭中至少有一个女孩”，因此我们算得的概率是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生”的概率，这个概率称为条件概率，
2记为P（A|B）。 423P(AB)P（A|B）=3=4=P(B)
这虽然是一个特殊的例子，但是容易验证对一般的古典概型，只要P（B）>0
上述等式总是成立的，同样对几何概率上述关系式也成立。 1．条件概率的定义
?F， 且Ｐ（Ｂ）>0. 定义1.若（?,F,?）是一个概率空间ＢP(AB)对任意Ａ?F，称P（A|B）=P(B)为在已知事件Ｂ发生的条件下事件Ａ发生的条件概率。 ２．性质
不难验证条件概率Ｐ(.|B)具有概率的三个基本性质 １） ２） ３）
非负性： ?Ａ?F Ｐ（Ａ｜Ｂ）≥０ 规范性： Ｐ（?｜Ｂ）＝１
?A可列可加性：，且A1,A2……互不相容， ????i?F（i=1，2……）
P???AiB????P?AiB??i?1有?i?1
由此可知，对给定的一个概率空间（?,F,?）和事件B?F, 如果Ｐ（Ｂ）>０，则条件概率Ｐ(.|B) 也是(Ω，F)上的一个概率测度,特别，当B=Ω时，P(.|B)就是原来的概率测度P（.·）,所以不妨将原来的概率看成条件概率的极端情形，还可以验证 4） P(?B)=0 (5)P(AB)=1- P(AB)
(6)P(A1?A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B) 二、乘法公式
由条件概率的定义可知，当P(A)>0时 P(AB)= P(A)P(BA)
同理当P(B)>0时, P(AB)= P(B)P(AB) 这个公式称为乘法公式
乘法公式可以推广到n个事件的情形，
P(A1A2?An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?P(AnA1A2...An?1) (P(AnA1A2...An?1)>0)
例2：甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。
记 A= ?甲市出现雨天? B =?乙市出现雨天
?
求：1）两市至少有一市是雨天的概率；
2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率； 3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。 解：1）P(A?B)?0.26
2）P(AB)?0.67 3）P(BA)?0.60
例3：（抽签问题）有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？ （i=1，2，…，7） 解：设Ai=“第i个人抓到票”， （i=1，2，…，7）
16P?A1??,P?A??77， 显然
如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。 这就是说A2?A1，所以A2?A2A1
于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，
1PA2A1?6， 所以
??P?A2??P?A2A1??P?A1?PA2A1???611??767，
类似可得
P?A3??P?A1A2A3??P?A1?PA2A1PA3A1A2?????6511???7657，
…
P?A7??17。
三、全概率公式
例4：有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。
解：令B= ?最后取出的球是白球
?，
显然导致B发生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只或2只白球，
因此，如果令 Ai=?先取出的二球有只白球
则B=BA0?BA1?BA2 由概率的有限可加性
P(B)=P (BA0)+ P(BA1)+ P(BA2) 在由乘法公式
? ，i=0，1，2
7P(B)= P (A0)P (BA0)+ P(A1)P (BA1)+ P(A2)P (BA2)=15
上例中采用的方法是概率论中颇为有用的方法，为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解为两个（或若干个）互不相容的较简单的事件的并，求出这些较简单事件的概率，再利用加法公式，即的所要求的复杂事件的概率，将这中方法一般化便得到下述定理：
nB1,B2…….是 一列互不相容的事件，且有i?1定理1：设
P(Bi)?P(ABi) 有P(A)= i?1?Bni=?,对任何事件A，
证明：见书
例5：某工厂有四条生产线生产同一中产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，又这四条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，及2%，现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？（0.0325）
一般地，能用全概率公式解决的问题都有以下特点：
１） 该随机变量可以分为两步，第一步试验有若干个可能结果，在第一步试验结果的基础上，再进行第二次试验，又有若干个结果；
２） 如果要求与第二步试验结果有关的概率，则用全概率公式。
例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？（0.026）
已知一客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么，他属于那一类型的人？
67BP (BA)= 13 ,P (A)=13
A=?客户购买保险单后一年内出一次事故?