2009年高考数学一轮复习资料一
1、题目 高中数学复习专题讲座对集合的理解及集合思想应用的问题 高考要求 集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用 本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用
重难点归纳
1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题
2 注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或
A≠?两种可能，此时应分类讨论
典型题例示范讲解
例1设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?，证明此结论
命题意图 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题
知识依托 解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=?转化为A∩C=?且B∩C=?，这样难度就降低了
错解分析 此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手
技巧与方法 由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值
解 ∵(A∪B)∩C=?，∴A∩C=?且B∩C=?
?y2?x?1∵? ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 ?y?kx?b∵A∩C=?
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0 ∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解， 其充要条件是16b2－16>0, 即 b2>1 ①
?4x2?2x?2y?5?0∵? ?y?kx?b∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=?,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0 ∴k2－2k+8b－19<0, 从而8b<20, 即 b<2 5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
2??4k?8k?1?0, ?2??k?2k?3?0∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?
例2 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图 在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握 本题主要强化学生的这种能力
知识依托 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来 错解分析 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索 技巧与方法 画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系
3=30，赞成5名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生体为集合B
解 赞成A的人数为503
AX30-XUB33-XX+13B的人数为30+3=33，如上图，记50全体为集合A；赞成事件B的学生全
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为
x+1,3赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x
x+1)=50,解得x=21 3所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人
依题意(30－x)+(33－x)+x+(
例3已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠?,求实数m的取值范围
?x2?mx?y?2?0解 由? 得x2+(m－1)x+1=0
?x?y?1?0(0?x?2) ①
∵A∩B≠?
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解
首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求
当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内
故所求m的取值范围是m≤－1
学生巩固练习
k??kx??,k∈Z},则( ) ?,k∈Z},N={x|x=
2442A M=N B MN C MN D M∩N=?
2 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1 3 已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________ xy4 x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|? =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________ ab5 集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B ?和A∩C=?同时成立 S6 已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,n)|n∈ n1N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R} 4试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明 (1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A∩B至多有一个元素； (3)当a1≠0时，一定有A∩B≠? 17 已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},当A∩B=B时，求b的值 28 设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x} (1)求证 A?B; (2)如果A={－1，3}，求B 参考答案 1 集合M={x|x= 1 解析 对M将k分成两类 k=2n或k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ+ ?3?,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}, 44?3?5?,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z} 442对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z), N={x|x=nπ+ 答案 C 2 解析 ∵A∪B=A，∴B?A,又B≠?, ?m?1??2?∴?2m?1?7即2＜m≤4 ?m?1?2m?1?答案 D 3 a=0或a≥ 9 8abxy,即ab=a2?b2 ?=1相切，则1= aba2?b24 解析 由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线 答案 ab=a2?b2 5 解 log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3} 由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=?，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ?,即A∩B≠?, ∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2 当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=?不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=?，A∩B ?，∴a=－2 6 解 (1)正确 在等差数列{an}中，Sn= n(a1?an)SS1,则n?(a1+an),这表明点(an,n）的坐标适合方程2n2ny?S111(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上 222n11?y?x?a1??22(2)正确 设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组?的解，由方程组消去y得 2a1x+a12=－?1x2?y2?1??4?4?a14()，当a1=0时，方程()无解，此时A∩B=?；当a1≠0时，方程()只有一个解x=,此时，方程组也只有 2a1* * * 2??4?a1?y?2a1?一解?,故上述方程组至多有一解 2?y?a1?4?4a1?2∴A∩B至多有一个元素 Sn >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其n横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠?,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而 (3）不正确 取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, ?4?a1a?x032??＜0,y0=1x0=?＜0,这样的(x0,y0）?A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=?，所以a1≠0时，一2a1524定有A∩B≠?是不正确的 212w?2bzi+b得z=, 2i2w?2b∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1 i∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面 又A∩B=B，即B?A，∴两圆内含 7 解 由w= 因此(b?2)2?(1?0)2≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2 8 (1)证明 设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0) 即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A?B (2)证明 ∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得 ??1?3??(p?1),?p??1 ???(?1)?3?qq??3??∴f(x)=x2－x－3 于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x, 也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x (*) 的根 将方程(*)变形，得(x2－x－3)2－x2=0 解得x=1,3,3,－3 故B={－3，－1，3，3} 课前后备注 2、题目 高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法 高考要求 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系 重难点归纳 (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假 (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“??，反之也真”等 (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质 (4)从集合观点看，若A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件 (5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性) 典型题例示范讲解 x?1例1已知p|1－|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 3命题意图 本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命 题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性 知识依托 本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了 错解分析 对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难 技巧与方法 利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决 解由题意知 命题若?p是?q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p是q的充分不必要条件 x?1x?1x?1|≤2?－2≤－1≤2?－1≤≤3?－2≤x≤10 333q:x2－2x+1－m2≤0?［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 * ∵p是q的充分不必要条件， x?1∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集 3又∵m>0 ∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m p:|1－ ?1?m??2?m?1∴?，∴m≥9， ??1?m?10m?9??∴实数m的取值范围是［9，+∞) 例2已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件 命题意图 本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性 知识依托 以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定 错解分析 因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明 ?S1(n?1)技巧与方法 由an=?关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明 S?S(n?2)n?1?n解a1=S1=p+q － 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn1(p－1) pn(p?1)∵p≠0,p≠1,∴n?1=p p(p?1)若{an}为等比数列，则 a2an?1=p ?a1anp(p?1)=p, p?q∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1 这是{an}为等比数列的必要条件 下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件 当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1 －－ 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn1=pn1(p－1) － ∴an=(p－1)pn1 (p≠0,p≠1) ∴ an(p?1)pn?1?=p为常数 an?1(p?1)pn?2∴q=－1时，数列{an}为等比数列即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1