∴m>4－22
例3 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0, 解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0 ?
解 ∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2) 又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③
由②得0＜x2+5x+4≤
1得 4
④
?5?10?5?10≤x＜－4或－1＜x≤ 22由③④得原不等式的解集为
{x|x≤－5或
?5?10?5?10≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0} 22学生巩固练习
1 设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7 5)等于( ) A 0 5 B －0 5 C 1 5 D －1 5
2 已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,?则a的取值范围是( )
A (22，3)
B (3，10) C (22，4)
D (－2，3)
3 若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________
4 如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(
12),f(),f(1)的大小关系33_________
5 已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明
a?2x?16 已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，
1?2x(1)求a的值；
－
(2)求f(x)的反函数f1(x);
(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f1(x)>lg－
1?x k7 定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(1?2m－
7+cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取4值范围
ax2?158 已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<
bx?c2(1)试求函数f(x)的解析式；
(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 参考答案:
1 解析 f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)
=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5
答案 B
2 解析 ∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数， 且f(a－3)+f(9－a2)＜0 ∴f(a－3)＜f(a2－9)
??1?a?3?1?∴??1?a2?9?1 ∴a∈(22,3) ?2?a?3?a?9答案 A
?x?0?x?03 解析 由题意可知 xf(x)＜0?? 或?f(x)?0f(x)?0???x?0?x?0?x?0?x?0 ?? 或? ??或?f(x)?f(?3)f(x)?f(3)x??3x?3????∴x∈(－3,0)∪(0,3)
答案 (－3，0）∪(0，3）
4 解析 ∵f(x)为R上的奇函数
1122)=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1), 333312又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1
331212∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1)
333312答案 f()＜f()＜f(1)
335 解 函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)?在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数
6 解 (1）a=1
∴f(
2x?1－1?x (－1＜x＜1)
(2)f(x)=x (x∈R)?f-1(x)=log2
2?11?x1?x>log1?x?log2(1－x)＜log2k, 2
k1?x∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1};当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1}
(3)由log2
??m?sinx?4?m?4?sinx?7??27解 ?1?2m??cosx?4， 即?724m?1?2m???sinx?sinx?1???47?2m?sinx?1?2m??cosx??4对x∈R恒成立,
?m?3???31
m?或m??22?∴m∈［
31,3］∪{} 228 解 (1)∵f(x)是奇函数，
ax2?1ax2?1∴f(－x)=－f(x),即???bx?c?bx?c
bx?c?bx?caax2?1a1∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2， ?x?2bxbbxb当且仅当x=
a1时等号成立，于是2=2,∴a=b2, 2ab5a?15b2?1511由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+
b2222xb(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则
?x02?1?y0?x?0 ?2?(2?x0)?1??y0?2?x0?消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±2
∴y=f(x)图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称
课前后备注
8、题目 高中数学复习专题讲座 处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（2） 高考要求
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识
重难点归纳
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 (2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目
(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力
(4)应用问题 在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决 特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题
典型题例示范讲解
例1已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(f(x)+f(y)=f(
1)=－1,当且仅当0 命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力 知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想 错解分析 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 技巧与方法 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定 x2?x1的范围是焦点 1?x1x2证明 (1)由f(x)+f(y)=f( x?y), 1?xy令x=y=0,得f(0)=0, x?x)=f(0)=0 1?x2∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( 令0 x2?x1) 1?x1x2∵0 x2?x1>0, 1?x2x1x2?x1x?x1<1,由题意知f(2)<0，? 1?x2x11?x1x2即f(x2) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上为减函数 例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1) 1a2?3a?1)的单调递减区间 2命题意图 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法 知识依托 逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题 错解分析 逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法 解 设0 1712又2a2?a?1?2(a?)2??0,3a2?2a?1?3(a?)2??0. 4833由f(2a2+a+1) 35又a2－3a+1=(a－)2－ 24123∴函数y=()a?3a?1的单调减区间是［，+∞］ 22123结合0 22范围，并在该范围内求函数y=( exa例3设a>0,f(x)=?x是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明 f(x)在(0，+∞)上是增函数 ae(1)解 依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x), exa111即?x?x+aex 整理，得(a－)(ex－x)=0 aeaaee1=0,即a2=1,又a>0,∴a=1 a(2)证法一（定义法） 设0＜x1＜x2, 111则f(x1)－f(x2)=ex1?ex2?x?x?(ex2?ex1)(x?x?1) e1e2e12因此，有a－ ?e(ex1x2?x11?ex1?x2?1)x?x e12由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex2?x1?1>0,1－ex1?x2＜0, ∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 －－－－证法二（导数法） 由f(x)=ex+ex，得f′(x)=ex－ex=ex2(e2x－1) 当x∈(0,+∞)时，ex>0,e2x－1>0 此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数 学生巩固练习 1 下列函数中的奇函数是( ) x?1A f(x)=(x－1) 1?xlg(1?x2)B f(x)=2 |x?2|?22??x?x(x?0)C f(x)=?2 ???x?x(x?0)D f(x)= 1?sinx?cosx 1?cosx?sinx2 函数f(x)= 1?x2?x?11?x?x?12的图象( ) A 关于x轴对称 B 关于y轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线x=1对称 3 函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是____ 4 若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0 _________ x?2 (a>1) x?1(1)证明 函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数 (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根 5 已知函数f(x)=ax+ x36 求证函数f(x)=2在区间(1，+∞)上是减函数 2(x?1)7 设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足 (i)f(x1－x2)= f(x1)?f(x2)?1； f(x2)?f(x1)(ii)存在正常数a使f(a)=1 求证 (1)f(x)是奇函数 (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a