例3已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β， 证明|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件 证明(1）充分性由韦达定理，得|b|=|α2β|=|α|2|β|＜232=4 设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线 又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
?4?2a?b?0即有??4+b>2a>－(4+b)
4?2a?b?0?又|b|＜4?4+b>0?2|a|＜4+b (2)必要性 由2|a|＜4+b?f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线 ∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根 ∵α，β是方程f(x)=0的实根，
∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2
例4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假. （1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数； （2）若xy=0，则x=0或y=0；
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数. 解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题. 原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题. （2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题. 原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题.
（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题. 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.
例5 有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条. A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”， B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”， C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.
如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？ 解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.
若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒
内.
同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意. 综上，苹果在B盒内.
学生巩固练习
1函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( ) Aab=0 Ba+b=0 Ca=b Da2+b2=0
2 “a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分条件也不是必要条件
3 a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的___ 4命题A两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件 5设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？
6已知数列{an}、{bn}满足bn=
a1?2a2???nan,求证数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列
1?2?3???n 7已知抛物线Cy=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件 8 p:－2 参考答案 1解析若a2+b2=0,即a=b=0, 此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x2|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x) ∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0 ∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件 答案 D 2解析若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件 答案 A 3解析当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0 ∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1, 即C1≠C2,∴a=3?l1∥l2 答案 充要条件 4解析若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点， 则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0); 反之不成立 答案充分不必要 5解根据韦达定理得a=α+β,b=αβ ?a?2???1判定的条件是p:?，结论是q:? b?1??1??(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0) ???1(1)由?，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴q?p ???1111,它满足a=α+β=4+>2,b=αβ=43=2>1,但q不成立 222综上讨论可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件 6证明①必要性 设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列 (2)为证明p q,可以举出反例取α=4,β= ?bn?a1?2a2???nana1(1?2???n)?d[1?2?2?3???(n?1)n]2 ?a1?(n?1)?d ?1?2?3???n1?n???n3222d－a1－(n－1) d=d为常数? 3332 故{bn}是等差数列，公差为d 3②充分性: 设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=(n－1)d′? ∵bn(1+2+?+n)=a1+2a2+?+nan ① bn－1(1+2+?+n－1)=a1+2a2+?+(n－1)an ② n(n?1)n(n?1)①－②得nan=bn－1? bn?22从而bn+1－bn=a1+n2 an?n?1n?1n?1n?13bn?bn?1?[b1?(n?1)d?]?[b1?(n?2)d?]?b1?(n?1)?d? 222223d′为常数，故{an}是等差数列 2综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列 7解 ①必要性 从而得an+1－an= 由已知得，线段AB的方程为y=－x+3(0≤x≤3) 由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点， ?y??x2?mx?1* 所以方程组?有两个不同的实数解 y??x?3(0?x?3)?消元得x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3) 设f(x)=x2－(m+1)x+4,则有 ???(m?1)2?4?4?0?f(0)?4?0?10??f(3)?9?3(m?1)?4?0 ?3?m? 3??0?m?1?3??2②充分性 当3＜x≤ 10时， 3m?1?(m?1)2?16m?1?(m?1)2?x1=>0 221010?1?(?1)2?162m?1?(m?1)?163x2??3?3 222 ∴方程x－(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程组*有两组不同的实数解 因此，抛物线y=－x2+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是 103＜m≤ 38解 若关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，设为x1,x2 则0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1, ?x1?x2??m?0??m?2得?根据韦达定理 ? xx?n0?n?1??12有－2＜m＜0;0＜n＜1即有q?p 111111反之，取m=－,n?,x2?x??0,???4?＜0 3232922 方程x+mx+n=0无实根，所以pq 综上所述，p是q的必要不充分条件 课前后备注 1.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：依题意有p?r，r?s，s?q，∴p?r?s?q.但由于rp，∴qp. 答案：A 35π”是“α=kπ+，k∈Z”的 212A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. “cos2α=－解析：cos2α=－答案：A 35π5π?2α=2kπ±?α=kπ±. 26123.在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC中，A＞B?cosA＜cosB（余弦函数单调性）. 答案：C 4.命题A：两曲线F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ为常数）过点P（x0，y0），则A是B的__________条件. 答案：充分不必要 5.函数f（x）=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 A.a∈（－∞，1］ B.a∈［2，+∞） C.α∈［1，2］ D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：∵f（x）=x2－2ax－3的对称轴为x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］?（－∞，a］或［1，2］?［a，+∞），即a≥2或a≤1. 答案：D 6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求数列{an}成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n项和公式，导出使{an}为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n=1时，a1=S1=p+q； － 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=（p－1）2pn1. 由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列.要使{an}（n∈N*）是等比数列，则（p+q），∴q=－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=－1. 再证充分性： 当p≠0且p≠1且q=－1时，Sn=pn－1， an=（p－1）2pn1， － a2=p，即（p－1）2p=pa1an=p（n≥2）， an?1∴{an}是等比数列. 3、题目 高中数学复习专题讲座运用向量法解题 高考要求 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题 重难点归纳 1 解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想 2 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 3 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考 (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 典型题例示范讲解 例1如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面?ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD (1)求证 C1C⊥BD B1A1(2)当 C1CD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给CC1D1出证明 BA垂直，命题意图 本题主要考查考生应用向量法解决向量夹角等问题以及对立体几何图CD形的解读能力 知识依托 解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单 错解分析 本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系 ????技巧与方法 利用a⊥b?a2b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 ???????????????????????????????(1)证明 设CB=a, CD=b,CC1?c,依题意，|a|=|b|，CD、CB、?CC1中两两所成夹角为θ，于是 ??????DB=a－b， ??????????????????CC1?BD=c(a－b)=c2a－c2b=|c|2|a|cos B1C1D1A1BCDAθ－|c|2|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD ??(2)解 若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1， ??????????????????????????由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1) ??????2?????2 =(a+b+c)2(a－c)=|a|+a2b－b2c－|c| ??2?2???=|a|－|c|+|b|2|a|cosθ－|b|2|c|2cosθ=0,得 ????当|a=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD， ∴ CD=1时，A1C⊥平面C1BD CC1例2如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，M、N分别是A1B1、A1A的中点 zC1A1MB1CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2， ????(1)求BN的长； ????????(2)求cos (3)求证 A1B⊥C1M 命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐 NoACBy标运算的方法来解决立体几何问 题 x知识依托 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O－xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 错解分析 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标 技巧与方法 可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的