8 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－
11)=0,当x>－时，f(x)>0 22(1)求证 f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证 参考答案:
?x2?x (x?0)???(x2?x) (x?0)???1 解析 f(－x)=?2 =－f(x)， 2???x?x (x?0)???(?x?x) (x?0)故f(x)为奇函数 答案 C
2 解析 f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称 答案 C
3 解析 令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减 答案 (－∞,－1]
4 解析 ∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,
∴f(0)=d=0 f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0
又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0 答案 (－∞,0）
5 证明 (1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, ax2?x1>1且ax1>0,
∴ax2?ax1?ax1(ax2?x1?1)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴
x2?2x1?2(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)3(x2?x1)???>0, x2?1x1?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)x2?2x1?2 >0 ?x2?1x1?1于是f(x2)－f(x1)=ax2?ax1+
∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数
(2）证法一 设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,
则ax0??x?2x0?2且由0＜ax0＜1得0＜－0＜1, x0?1x0?11＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根 2证法二 设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,
即
则
x0?2＜－2,ax0＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾， x0?1x0?2>0, ax0>0， x0?1若x0＜－1,则
∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根
1116 证明 ∵x≠0,∴f(x)=2, ??2221(x?1)x(x?1)x(1?2)2xx3x4设1＜x1＜x2＜+∞,则
1x22?1x12?1,1?1x22?1?1x12?0
?x2(1?1x22)?x1(1?21x12)?0.?21x2(1?1x22?)21x1(1?1x12
)2∴f(x1)>f(x2),?故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数 (本题也可用求导方法解决） 7 证明 (1）不妨令x=x1－x2,
则f(－x)=f(x2－x1)=
f(x2)f(x1)?1f(x1)f(x2)?1 ??f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)=－f(x1－x2)=－f(x)
∴f(x)是奇函数
(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a)
∵f(x+a)=f［x-(-a)］=
f(?a)f(x)?1?f(a)f(x)?1f(x)?1??(f(a)?1)
f(?a)?f(?x)?f(a)?f(x)f(x)?1f(x)?1?1f(x?a)?1f(x)?11 ?f(x?2a)?f[(x?a)?a]????f(x?a)?1f(x)?1f(x).?1f(x)?11∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),
?f(x?2a)故f(x)是以4a为周期的周期函数
1118 (1）证明 设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,
222∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)
11=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,
22∴f(x)是单调递增函数
(2)解 f(x)=2x+1 验证过程略 课前后备注
9、题目 高中数学复习专题讲座指数函数、对数函数问题 高考要求
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图像和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题
重难点归纳
(1)运用两种函数的图像和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的图像和性质并能灵活应用 (2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 (3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力
典型题例示范讲解
例1已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点
(1)证明 点C、D和原点O在同一条直线上；
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标
命题意图 本题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力
知识依托 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标
错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题
技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标 (1)证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
由题意知 x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2 因为A、B在过点O的直线上，
所以
log8x1log8x2,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2), ?x1x2log8x1log8x2=3log8x1,log2x2??3log8x2, log82log82log2x13log8x1, ?x2x1log2x23log8x2， ?x2x2由于log2x1=
所以OC的斜率 k1=
OD的斜率 k2=
由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一条直线上
(2)解 由BC平行于x轴知 log2x1=log8x2
1log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1, 3由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1
即 log2x1=
又x1>1,∴x1=3,则点A的坐标为(3，log83)
例2在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(
ax
)(0
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；
(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由 命题意图 本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力
知识依托 指数函数、对数函数及数列、最值等知识
错解分析 考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口
技巧与方法 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题
1an?2解 (1)由题意知 an=n+,∴bn=2000()
2101ax
)(0bn+1>bn+2
则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,
(2)∵函数y=2000(
即(
a2a)+()－1>0, 1010解得a<－5(1+2)或a>5(5－1) ∴5(5－1)
(3)∵5(5－1)
7n?2∴bn=2000() 数列{bn}是一个递减的正数数列，
101对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1
于是当bn≥1时，Bn 因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1, 7n?2由bn=2000()≥1得 n≤20 8 ∴n=20 1011?x,F(x)=1+f(x) 2?x1?x(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； － (2)若f(x)的反函数为f1(x),证明 对任意的自然数n(n≥3),都有 n－ f1(n)>; n?1－－ (3)若F(x)的反函数F1(x),证明 方程F1(x)=0有惟一解 1?x解 (1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)， 1?x设－1＜x1＜x2＜1,则 例3设f(x)=log2 F(x2)－F(x1)=( 1?x21?x111)+(log2) ??log22?x22?x11?x21?x1?x2?x1(1?x1)(1?x2), ?log2(2?x1)(2?x2)(1?x1)(1?x2)∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1 因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数 2y?11?xy1?x(2)证明 由y=f(x)=log2得 2=, ,x?y1?x1?x2?12x?1－ ∴f(x)=x,∵f(x)的值域为R，∴f-1(x)的定义域为R 2?1－1 当n≥3时， n2n?1n21f(n)>?n??1?n?1??2n?2n?1 n?1n?12?1n?12?1-1 用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略 111－－ ,∴F1()=0,∴x=是F1(x)=0的一个根 2221－ 假设F1(x)=0还有一个解x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于 2(3)证明 ∵F(0)= 是F(0)=x0(x0≠ 1-1 ) 这是不可能的，故F(x)=0有惟一解 2学生巩固练习 1 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( ) －A g(x)=x,h(x)=lg(10x+10x+2) 11［lg(10x+1)+x］,h(x)= ［lg(10x+1)－x］ 22xxC g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－ 22xxD g(x)=－,h(x)=lg(10x+1)+ 222 当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图像只可能是( ) B g(x)= yo1yxAo1yyo1xBxCo1xD ?2x (x?0)－ 3 已知函数f(x)=? 则f-1(x－1)=_________ ?log2(?x) (?2?x?0)4 如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩 －么桶2中水就是y2=a－aent,假设过5分钟时，桶1和 y1=ae-nt余的水符合指数衰减曲线y1=aent,那桶2的水相等，则再过_________分钟 －a 桶185 设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图像上的点时，点 y2=a-ae-ntQ(x－2a,－y)是函数y=g(x)图像上的点 桶2(1)写出函数y=g(x)的解析式； (2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围 x?x216 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与f(1)的大小，并 22加以证明 7 已知函数x,y满足x≥1,y≥1 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围 桶1中的水只有8 设不等式2(log1x)2+9(log1x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2 22x)(logx)的最大、最小值 2 28参考答案 1 解析 由题意 g(x)+h(x)=lg(10x+1) ① －－又g(－x)+h(－x)=lg(10x+1) 即－g(x)+h(x)=lg(10x+1) ② 由①②得 g(x)= xx,h(x)=lg(10x+1)－ 22答案 C 2 解析 当a>1时，函数y=logax的图像只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数 答案 B 3 解析 容易求得f- －1 ?log2x (x?1)(x)=?x, ??2 (x?1)