当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
1) m?1(1)证明 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值
(3)求证 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1
1 (1)证明 先将f(x)变形 f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,
m?11当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，
m?1故f(x)的定义域为R
11反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜
m?1m?10,解得m>1,故m∈M
1(2)解析 设u=x2－4mx+4m2+m+,
m?1∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小 ?
1而u=(x－2m)2+m+,
m?11显然，当x=m时，u取最小值为m+,
m?11此时f(2m)=log3(m+)为最小值
m?111(3)证明 当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,
m?1m?1当且仅当m=2时等号成立
1∴log3(m+)≥log33=1
m?1学生巩固练习
111 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )
2x例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+
7A(－∞,－]
433273B［－,+∞) C［,+∞) D(－∞,－32］
2422 函数y=x+1?2x的值域是( )
A (－∞,1]
B (－∞,－1] C R
D ［1,+∞)
3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列
V2
)千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长) 204 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________
5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场
1对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位 百
2台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？
货车间距离不得小于(
6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］
(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围
7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表
家电名称 工时 空调器 彩电 冰箱 111 2344 3 2 产值(千元) 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)
8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧
BC?CA面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x
AB(1)求函数f(x)=
S1的解析式并求f(x)的定义域 S2(2)求函数f(x)的最小值
参考答案
1 解析 ∵m1=x2在(－∞,－
11111）上是减函数，m2=在(－∞,－）上是减函数，∴y=x2+在x∈(－∞,－)222xx上为减函数,
117 (x≤－)的值域为［－，+∞)
24x答案 B
∴y=x2+
1?t22 解析 令1?2x=t(t≥0),则x=
21?t21∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1
22∴值域为(－∞,1]
答案 A
3 解析 t=
400V240016V+163()/V=+≥216=8 VV20400答案 8
m?2, 4m?2117∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2－,
2416又x1,x2为实根，∴Δ≥0 ∴m≤－1或m≥2，
1171y=(m－)2－在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数，又抛物线y开口向上且以m=为对
4416称轴 故m=1时，
1ymin=
21答案 －1
25 解 (1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)?之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以
4 解析 由韦达定理知 x1+x2=m,x1x2=
12?125x?x?(0.5?0.25x)(0?x?5)??4.75x?x?0.5(0?x?5)??2y=? ??21?(5?5??52)?(0.5?0.25x)(x?5)??12?0.25x (x?1)?2?1b(2）在0≤x≤5时，y=－x2+4 75x－0 5,当x=－=4 75(百台）时，ymax=10 78125(万元），当x>5(百
22a台）时，y＜12－0 2535=10 75(万元），?
所以当生产475台时，利润最大 ?
?0?x?5?x?5?(3）要使企业不亏本，即要求?12 或?x?4.75x?0.5?0?12?0.25x?0??2解得5≥x≥4 75－21.5625≈0 1(百台）或5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，
企业不亏本
6 解 (1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是
?a?1或a??12??a?1?0?， ,即??522a?或a??1????(a?1)?4(a?1)?0?3?5 3又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意
5故a≤－1或a>为所求
3∴a＜－1或a>
?a2?1?0(2）依题意只要t=(a－1)x+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有?,解得1
???02
2
＜a≤
55,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤为所求 337 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得 x+y+z=360? ① 111 ② x?y?z?120
234x>0,y>0,z≥60 ③?
假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,
得
y=360－3x ④ 将④代入①得 x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤ ∵z≥60,∴x≥30 ⑥
再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+222x,即S=－x+1080 由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为 S=－30+1080=1050(千元）
得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2330=60
∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元
8 解 (1）如图所示 设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=
ab, c∴S1=πah+πbh=
?abc(a?b),S2??(a?b?c2),, 2∴f(x)=
S14ab(a?b) ?2S2c(a?b?c) ①
bC?a?b?a?b?cx?x??又?c ??c22?a2?b2?c2?ab?(x?1)2??aAcB2(x2?x)代入①消c，得f(x)=
x?1在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜x=
?),则 2a?b?=sinA+cosA=2sin(A+) ∴1＜x≤2 c42(x2?x)2(2)f(x)=?2[(x?1)?] +6,
x?1x?12设t=x－1,则t∈(0, 2－1),y=2(t+)+6
t在(0，2－1]上是减函数，
∴当x=(2－1)+1=2时，f(x)的最小值为62+8
课前后备注
7、题目 高中数学复习专题讲座 处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（1） 高考要求
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识
重难点归纳
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 (2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目
(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力
(4)应用问题 在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决 特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题
典型题例示范讲解
例1已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A
∪{x|1≤x≤5},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值
命题意图 本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力 知识依托 主要依据函数的性质去解决问题
错解分析 题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域
技巧与方法 借助奇偶性脱去“f”号，转化为x的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值
??3?x?3?3?0?x?6得?解 由?且x≠0,故0 ∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3, 综上得2 1213)－知g(x)在B上为减函数， 24∴g(x)max=g(1)=－4 例2已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcos θ)>f(0)对所有θ∈［0, ?］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 2命题意图 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力 知识依托 主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 错解分析 考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法 技巧与方法 主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题 解 ∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m), 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0 设t=cosθ,则问题等价地转化为函数 m2m2g(t)?=t－mt+2m－2=(t－)－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小 42值为正 m∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0?m>1与m<0不符； 2m2m当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>0 422 ?4－22 当 m>1,即m>2时，g(1)=m－1>0?m>1 ∴m>2 2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－22 另法(仅限当m能够解出的情况) cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0, ?］恒成立， 2等价于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0, ?］恒成立 2∵当θ∈［0, ?］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－22， 2