坐标 (1)解 如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz 依题意得 B(0，1，0)，N(1，0，1)
????∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3
(2)解 依题意得 A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2) ????????∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2) ????????BA1?CB1=130+(－1)31+232=3 ????|BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6 ????|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5
xA1zC1MB1NoACBy????????????????BA1?CB1330???????cos?BA1,CB1???????.
10|BC1|?|CB1|6?511(3)证明 依题意得 C1(0，0，2)，M(,,2)
22?????11????C1M?(,,0),A1B?(?1,1,?2)
22??????????????????11∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M,
22∴A1B⊥C1M 例3三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求 (1)BC边上的中线AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值 解 (1)点M的坐标为xM=
?1?17?299?0;yM??,?M(0,) 2222?????9221?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?.
22????????22(2)|AB|?(5?1)?(?1?7)?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5
D点分BC的比为2
B(-1,7)MDC(1,2)y∴xD=
?1?2?117?2?211?,yD??
1?231?23????11114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.
333oA(5,-1)x????????????????(3)∠ABC是BA与BC的夹角，而BA=(6，8），BC=(2，－5） ????????BA?BC6?2?(?8)?(?5)522629???????cosABC??????
2222|BA|?|BC|10291456?(?8)?2?(?5)学生巩固练习
1 设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( ) A正方形 B矩形 C菱形 D平行四边形
4A30° B－150° C150° D30°或150°
?3 将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向?量a=_________
4 等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的两个平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_________ ???????????????15?2 已知△ABC中，?AB=a，AC=b，a2b<0，S△ABC=,|a|=3,| b|=5,则a与b的夹角是( )
?????????????????????????5 如图，在△ABC中，设AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量
???a，b表示c
ADEP6 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a (1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标； (2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角 BFC???????????????????????????7 已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列 (1)点P的轨迹是什么曲线？
?????????(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为PM与PN的夹角，求tanθ
8 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的?中点? (1)用向量法证明E、F、G、H四点共面； (2)用向量法证明 BD∥平面EFGH； (3)设M是EG和FH的交点，
?????1????????????????求证 对空间任一点O，有OM?(OA?OB?OC?OD) 4参考答案
????????????????????????1 解析 AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，
又线段AB与线段DC无公共点，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，
????????????∴ABCD是平行四边形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34， ????????∴|AB|≠|AC},∴?ABCD不是菱形，更不是正方形； ????????????又BC=(4，1），∴124+221=6≠0,∴AB不垂直于BC，
∴ABCD也不是矩形，故选D 答案 D
2 解析 ∵
1511?2325sinα得sinα=,则α=30°或α=150°
242??又∵a2b＜0,∴α=150°
答案 C
3 (2,0) 4 13 cm
??????????????????????????5 解 ∵BP与BE共线，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a),
?????????????????∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m) a+mμb ①
??????????????????????????又CP与CD共线，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ?????????????????∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n) b ② ????由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n) b
?1?m??a??n?m?1?0??即?∵a与b不共线，∴?
?m?1?nn??m?1?0??解方程组③得 m=
③
1??1?? ,n?1???1????????1代入①式得c=(1－m) a+mμb=［λ(1-μ) a+μ(1-λ)b］
1???6 解 (1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系 由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－
3aa,,2a) 22a(2)取A1B1的中点M，于是有M(0，,2a），连AM，MC1，
2?????????????3有MC1=(－a,0,0）,且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)
??????????????????由于MC12AB=0，MC12AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，
∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角 2??????????3aaa,,2a),AM?(0,,2a), ∵AC1=(?222??????????a29?AC1?AM?0??2a2?a
44??????????32122而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|?44a23?2a?a 4292a??????????34 ?cos?AC1,AM???323a?a2??????????所以AC1与AM所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°
7 解 (1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，
?????????PM =－MP=(－1－x,－y）, ????????PN??NP =(1－x,－y), ??????????MN =－NM=(2,0),
???????????????????????????22
∴MP2MN=2(1+x), PM2PN=x+y－1,NM?NP =2(1－x) ???????????????????????????于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差数列，
等价于
1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即?2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆 (2)点P的坐标为(x0,y0)
??????????????????22PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y02?(1?x0)2?y02?(4?2x0)(4?2x0)?24?x02
?????????PM?PN???????cos??????|PM|?PN14?x02
1??0?x0?3,??cos??1,0???,
23?sin??1?cos2??1?14?x0,?tan??2sin?2?3?x0?|y0| cos?8 证明 (1）连结BG，则
????????????????1????????????????????????????EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH
2?????1???由共面向量定理的推论知 E、F、G、H四点共面，(其中BD=EH）
????????????1????1????1????????1????(2）因为EH?AH?AE?AD?AB?(AD?AB)?BD 2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH
2所以BD∥平面EFGH (3）连OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
????????????1????????1????由(2）知EH?BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EHFG,所以EG、FH交于一点M且被M平分，
22所以
?????1????????1????1????11????????11????????1???????????????OM?(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)] ?(OA?OB?OC?) O.D22222224课前后备注
4、题目 高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系 高考要求 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳
1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n
(2)当a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=若－
1 (p+q) 2b 2a2abb若x0≤－ 2a2ab若－≥q,则f(p)=M,f(q)=m 2a2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件 (1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小?a2f(r)<0; ???b2?4ac?0,??b?r,(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r??? 2a?a?f(r)?0?????b2?4ac?0,?b??q,?p??(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根?? 2a?a?f(q)?0,???a?f(p)?0;(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根?f(p)2f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内 成立 ?a?f(p)?0(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p (1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是 (－∞,α])∪［β,+∞)?a<0且f(α)=f(β)=0; bb|<|β+|, 2a2abb当a<0时，f(α) 2a2a(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立 (2)当a>0时，f(α) b?p???q,?b?b?p,??p;?????2a或? ??2a或?2ab?f(?)?0,??f(p)?0,??f(q)?0;?2a?(4)f(x)>0恒成立 ?a?0,?a?b?0,?a?0,?a?b?0??或?f(x)?0恒成立??或? ??0,c?0;??0,c?0.????